Раскрытие неопределенностей в пределах
Рассмотрим теперь
способы избавления от истинных
неопределенностей типа
.
Первый способ следующий. Если при
вычислении
возникают указанные выше неопределенности,
то можно попробовать тождественно
преобразовать выражение, задающее
функцию
,
таким образом, чтобы неопределенности
(при подстановке
в преобразованное выражение) уже не
возникало. Вся сложность этого способа
в том, как научиться находить такое
тождественное преобразование. Однако
для определенных классов функций и
типов получающихся неопределенностей
такие преобразования известны. Рассмотрим
некоторые из них.
1.
Предел отношения многочленов:
.
В этом случае можно попытаться
разложить многочлены числителя и
знаменателя на множители, затем сократить
общие множители. Вспомним некоторые
способы
разложения многочленов
на множители:
а) формулы сокращенного
умножения:
,
,
;
б)
вынесение за скобки общего множителя
;
в) разложение квадратного трехчлена:
,
где
и
− корни квадратного уравнения
.
Пример 1.
=
=
=
;
Пример 2.
=
=
;
Пример 3.
={находим
корни квадратного уравнения
:
,
,
а потому
} =
=
.
2.
Предел отношения многочленов на
бесконечности:
.
В этом случае
неопределенность исчезает, если разделить
числитель и знаменатель на старшую
степень знаменателя (т.е. на
,
так как в знаменателе многочлен степени
n).
Пример 4.
{если формально подставить
в выражение после знака предела, то в
дробях
,
,
,
и
получится
;
в соответствии с рассмотренным выше
«первым правилом псевдонеопределенности»
это означает стремление этих дробей к
0, что в дальнейшем обозначим для
наглядности значком
}
=
.
Пример 5.
=
=
=
. Пример
6.
=
=
=
.
3. Пределы с корнями:
.
В числителе и/или
в знаменателе стоит сумма или разность
выражений, содержащих корни (квадратные,
кубичные …). В случае квадратных корней
можно домножить числитель и знаменатель
на так называемое сопряженное выражение
к числителю и/или знаменателю (сумму
или разность корней домножить на их
разность или сумму соответственно),
после этого воспользоваться формулой
разности квадратов:
.
Если же участвуют корни третьей степени,
то домножать числитель и знаменатель
необходимо на неполный квадрат
суммы-разности корней для образования
формулы суммы-разности кубов:
.
После применения этих формул корни
исчезают, либо входят уже в такие
выражения, которые не ведут к
неопределенности при вычислении предела.
Пример 7.
= {квадратный корень содержится в
числителе в разности
,
поэтому домножим числитель и знаменатель
на соответствующую сумму
и применим формулу
}
=
=
=
=
=
= {после сокращения на
}
=
={подставляя
}
=
.
Пример 8.
=
{квадратный корень содержится в
знаменателе в разности
, поэтому домножим числитель и знаменатель
на соответствующую сумму
и применим формулу
}=
=
=
=
=
=
=
=
{подставляя
}
.
Пример 9.
= {кубичный корень содержится в числителе
в сумме
,
поэтому домножим числитель и знаменатель
на неполный квадрат разности
и применим формулу
}
=
=
=
=
.
Мы прошли лишь некоторые приемы избавления от неопределенностей в пределах. Подобных приемов гораздо больше, но все они «работают» лишь для конкретных классов функций и видах неопределенности. В дальнейшем (после прохождения производных) будет дан практически универсальный прием избавления от неопределенностей в пределах (так называемое «правило Лопиталя»).