Предел функции

В ысшая математика (условно) отличается от элементарной тем, что в высшей математике вводится понятие предела функции. И все основные понятия высшей математики (непрерывность функции, производная, интеграл, ряды и т.д.) в своих определениях содержат слово «предел». Формальное определение предела функции достаточно абстрактно, а потому сложно для восприятия. Поэтому дадим пока нестрогое, но интуитивно понятное описательное определение предела. Рассмотрим в качестве примера функцию . Будем брать различные числовые значения переменной (аргумента функции), приближающиеся (с разных сторон) к числу (но не совпадающие с ним), и каждый раз будем вычислять соответствующее значение функции (см. таблицу). Из таблицы видно, что чем ближе мы подбираемся значениями при к числу 1 , тем ближе соответствующие значения функции подходят к числу . В этом случае будем говорить, что число 3 является пределом функции при стремящемся к 1.

Перейдем к общему случаю. Пусть функция определена в окрестности точки (числа) за исключением (быть может) самого числа . Число а называется пределом функции при стремящемся к числу (обозначается: ), если при безграничном приближении к числу по любому закону (справа, слева, попеременно и т.д., но ), соответствующие значения функции у безгранично приближаются к числу а (одному и тому же при любом законе стремления к числу ). Символическая запись того факта, что число а является пределом функции при стремящемся к числу , следующая: . Поэтому для рассмотренной выше функции можно записать: . Это «определение» предела, конечно же, математически не строгое, так как не определено, что понимать под «безграничным приближением». Но оно раскрывает суть этого понятия. Строгое определение будет дано ниже на основании понятия предела числовой последовательности и намного более формально.

Будем далее рассматривать пределы функций не только когда стремится к определенному числу , но и когда неограниченно возрастает (будем в этом случае говорить, что стремится к плюс бесконечности: ) или неограниченно убывает (будем в этом случае говорить, что стремится к минус бесконечности: ). Для определения предела функции при можно, например, «пробежаться» значениями и проследить, приближаются ли как угодно близко соответствующие значения функции к какому-либо числу. Если это так, то это число будем называть пределом функции при . Аналогично, при определении предела при следует с той же целью «пробежаться», например, значениями .

Пример 1. Найдем с помощью приведенного выше интуитивного определения предела и . Для нахождения первого предела «пройдемся» значениями . Тогда значениями величины будут числа . . Таким образом, чем число «ближе к плюс бесконечности», тем значения ближе к 0 . Таким образом, . Для нахождения второго предела «пройдемся» значениями . Тогда значениями величины будут числа . Поэтому (как и в предыдущем случае), чем число «ближе к минус бесконечности», тем значения ближе к 0 (только приближение к 0 будет происходить теперь со стороны отрицательных чисел) . Таким образом, .

Определим понятие предела числовой последовательности . Пусть дана бесконечная последовательность чисел , занумерованных по порядку: . Эту последовательность можно рассматривать и как множество значений функции (т.е. ) , определённой на множестве всех натуральных чисел ., и как просто бесконечный набор чисел, каждое из которых снабжено номером, показывающим место данного числа в этой последовательности. Дадим определение предела последовательности при условии, что номер неограниченно растёт (это условие обозначается ). Стремление к бесконечности означает, что при своём изменении номер числа в последовательности становится больше любого наперёд заданного натурального числа , то есть, начиная с какого-то члена последовательности (а именно, с ), начинает выполняться для номеров членов последовательности неравенство . Если при таком процессе увеличения номера членов последовательности сами эти числа неограниченно приближаются к некоторому числу , то это число будем называть пределом этой последовательности, что записывается так: .

Формализуем сказанное. Число L называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого, числа (что означает произвольную задаваемую нами степень близости членов последовательности к числу L) можно найти такое число (зависящее, конечно, от выбранной нами степени близости ), что для всех достаточно далеких членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство (что означает приближение к L ближе, чем на ). С помощью кванторов это определение выглядит компактнее: . В этом случае будем также говорить, что последовательность сходится к числу L и писать: .

П ример 2. Покажем строго, что предел последовательности равен 0. Рисунок иллюстрирует поведение членов этой последовательности чисел при увеличении их номеров . Фиксируем произвольное число и подберём число в зависимости от так, чтобы при всех выполнялось неравенство , то есть . Решая это неравенство относительно , получаем, что оно выполняется при . Значит, достаточно выбрать в качестве натуральное число, не меньшее, чем , и тогда при любом неравенство будет выполнено. В качестве такого числа можно взять, например, ближайшее к целое число (что называется его целой частью: ). По данному выше определению предела числовой последовательности приведенное рассуждение означает, что действительно .

После того, как мы дали строгое определение предела числовой последовательности, можно дать на его основе и строгое определение предела функции. А именно, число а называется пределом функции при стремящемся к числу ( ), если для любой числовой последовательности { }, стремящейся к , последовательность соответствующих значений функции стремится к числу а.

Для вычисления самого первого предела нам, используя приведенное выше описательное определение предела, пришлось строить таблицу значений функции при различных значениях , приближающихся к 1, и выяснять, к какому числу при этом приближаются значения функции (выяснилось, что к 3). Нельзя ли было каким-либо другим способом получить это значение предела. Можно предложить еще 3 варианта (значительно более строгие, чем предложенное выше построение таблицы).

1. Использовать данное выше строгое математическое определение предела функции. Для данного простого примера это было бы сделать несложно, но для более сложных примеров – практически невозможно.

2. Воспользоваться некоторыми утверждениями, которые дает следующая

Теорема (о пределах). Пусть существуют пределы и , а − некоторое число. Тогда существуют следующие пределы и вычисляются следующим образом.

1) вынесение постоянного множителя за знак предела: .

2) предел суммы-разности: = .

3) предел произведения-частного: а) , б) , если .

4) Если для всех из некоторой окрестности ( за исключением быть может самого числа ) выполнено неравенство , то и .

5) Если − постоянная, то .

6) Замена переменной в пределе: пусть существуют пределы и . Тогда .

Используя утверждения 1) , 2) и 5) этой теоремы, получили бы для нашего примера: .

3. Заметим, что если бы мы (желая вычислить ) сразу бы подставили (т.е. то значение, к которому приближается ) в выражение для функции (стоящей под знаком предела), то получили бы искомое значение предела: . Поэтому в данном случае получилось, что . Тогда быть может для любых функций справедливо: и можно просто подставлять в вместо его предельное значение ? Это действительно справедливо (и доказывается с использованием приведенной выше теоремы) для многих функций, которые в дальнейшем мы назовем непрерывными в точке . А пока при решении задач на вычисление пределов можно использовать следующее «мнемоническое» Правило. Пусть функция задана в окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) единой формулой. Для вычисления предела можно попытаться вычислить значение , т.е. подставить число вместо в формулу и произвести определяемые формулой вычисления. Если при этом получается «обычное» число а (т.е. не возникают так называемые неопределенности вида и т.п. ), то это число и является значением искомого предела: . Это правило основано на так называемой непрерывности (это понятие будет пройдено позднее) элементарных функций в своей области определения.

Пример. .

Прежде, чем выяснить, как вычислять пределы функций, не подчиняющихся этому правилу (т.е. когда указанные выше неопределенности типа все же возникают), скажем о так называемых «псевдонеопределенностях», когда при подстановке предельного значения в формулу для тоже получается что-то на первый взгляд необычное, но, как окажется, вполне вычислимое. Ранее, в примере выше было найдено, что . Это было понятно, поскольку при неограниченном увеличении знаменателя ( ) , при условии, что числитель при этом стоит на месте (равен 1), дробь неограниченно уменьшается, то есть приближается к 0. Аналогично объясняется и то, что (но теперь приближение к 0 будет происходить со стороны отрицательных чисел, но сути это не меняет). Несложно догадаться, что такой результат будет получаться всегда, если мы вычисляем предел дроби, числитель которой приближается к конкретному конечному числу (или просто равен числу, как в предыдущем примере), а знаменатель неограниченно возрастает или неограниченно убывает (т.е. стремится к или к ). Поэтому можно сформулировать

Первое правило для псевдонеопределенности: если при вычислении предела от дроби получается (при подстановке в нее вместо его предельного значения) выражение типа , то предел равен 0.

Теперь попробуем вычислить . Если мы начнем приближаться по к нулю со стороны положительных чисел (беря, например, ), то значения функции ( ) стремятся к . Однако, если мы пойдем к 0 со стороны отрицательных чисел ( ), то значения этой функции ( ) стремятся уже к . Поэтому в обычном смысле не существует, так как по определению предела к предельному значению (одному и тому же!) значения функции должны безгранично приближаться при любом законе приближения к своему предельному значению. Однако в этом случае существуют так называемые односторонние пределы, о которых речь пойдет позже. Чисто символически описанный выше факт можно записать в форме: . Обобщив этот пример, получим

Второе правило для псевдонеопределенности: если при вычислении предела от дроби получается (при подстановке в нее вместо его предельного значения) выражение типа , то предел равен .