Общая схема исследования функции и построения графика
Мы изучили все необходимые способы исследования функций. Соберем изученное вместе и получится следующая
Схема исследования функции и построения ее графика
(после выполнения каждого пункта заносим полученную информацию в эскиз будущего графика).
1) Находим область определения функции . Если в нее не вошли отдельные числа, то выкалываем их (обводим кружком) на оси на эскизе графика.
2) Проверяем функцию
на четность или нечетность. Это сводится
к проверке симметричности найденной
области определения относительно нуля,
затем проверке равенства
для четной функции и
для нечетной. Если функция оказалась
четной (нечетной), то ее график должен
получиться симметричным относительно
оси у
(относительно начала координат).
3) Проверяем функцию на периодичность. В этом есть смысл в том случае, если формула, задающая функцию, содержит тригонометрический функции. Иначе периодичности нет, разве только в специально придуманных примерах. График периодической функции повторяет себя при сдвиге на величину периода Т вправо и влево вдоль оси .
4) Находим (если
это не слишком сложно) точки пересечения
графика с осями координат. Для нахождения
точки пересечения с осью у
необходимо вычислить значение функции
в нуле
(если, конечно, 0 входит в область
определения функции – иначе точки
пересечения с осью у
нет) и отметить полученное число на оси
у.
Для нахождения точек пересечения с осью
необходимо решить уравнение
и отметить получившиеся корни на оси
(если корней нет, то нет и пересечений
графика с осью
).
5) Найти асимптоты (наклонные и вертикальные) графика исследуемой функции. Нарисовать соответствующие прямые на эскизе будущего графика.
6) Найти участки монотонности и экстремумы функции. Отметить на эскизе точки графика, соответствующие максимумам и минимумам.
7) Исследовать направления выпуклости графика функции и найти точки его перегиба. Отметить точки перегиба на эскизе графика.
8) Строить эскиз графика по полученной информации.
Пример.
Исследовать функцию
и построить ее график.
Идем по изложенной
выше схеме. В нашем примере
.
1) Область определения.
Формула, задающая
функцию, предполагает при вычислении
ее значений следующие операции: возведение
в квадрат, сложение, вычитание и деление.
Только одна из них (деление) имеет
ограничение (на 0 делить нельзя). Поэтому
в область определения не входят те числа
,
при которых знаменатель обращается в
0, т.е.
.
Итак,
.
2) Четность-нечетность.
Найденная область
определения не симметрична относительно
нуля
(например, число
,
а симметричное число
)
. Поэтому нет ни четности, ни нечетности.
Функция общего положения.
3) Функция не периодическая (не содержит тригонометрических функций, а пример не придуман специально, чтобы запутать нас в этом пункте).
4) Точки пересечения с осями.
а) С осью у:
;
отмечаем на оси у
точку (–1) как точку пересечения графика
с этой осью.
б) С осью
:
уравнение
корней не имеет (дробь может быть равна
нулю при тех
,
при которых ее числитель равен 0, а
выражение
строго положительно для всех
).
Поэтому график с осью
не пересекается.
5) Асимптоты.
Найдем наклонную асимптоту с уравнением при . Ищем значения параметров и по приводимым выше формулам:
,
.
Подставляем
найденные значения параметров
и
в уравнение асимптоты
,
получаем, что
есть уравнение наклонной асимптоты
графика при
.
Поскольку наша функция представляет
собой отношение двух многочленов, то
эта же прямая будет и асимптотой графика
и при
.
Найдем вертикальные асимптоты. Их
уравнение имеет вид
,
причем число
может лежать только на границе области
определения функции. Поскольку область
определения функции
есть
,
то граничной точкой такой области
является только число 1.
Поэтому проверяем только
.
Это значит, что проверяется на вертикальную
асимптоту прямая с уравнением
.
Считаем односторонние (правый и левый)
пределы при
:
.
Дробь
означает,
что при подстановке вместо
числа 1
в числителе получается число 2,
а в знаменателе 0, к которому пришли со
стороны положительных чисел (так как в
правом пределе
остается больше 1).
При изучении псевдонеопределенностей
мы получали, что
.
Осталось выяснить знак этой бесконечности.
При
,
близких к 1,
выяснилось, что числитель приближается
к числу 2
(т.е. становится
положительным), и знаменатель положителен.
Поэтому вся дробь под знаком предела
положительна. Поэтому получилась именно
+∞. Аналогично, получаем для левого
предела
.
Итак, получили
,
.
Так как оба односторонних предела равны
бесконечности, то (по определению) прямая
с уравнением
является вертикальной асимптотой.
Строим асимптоты (по найденным их
уравнениям) на эскизе графика и кусочки
графика, примыкающие к вертикальной
асимптоте (там уже понятно, с какой
стороны идет примыкание, а для наклонных
пока нет).
6) Монотонность и экстремумы.
Н
аходим
производную:
.
Производная не существует при
(знаменатель снова обращается в 0),
поэтому это число войдет в критические
точки функции. Находим остальные
критические точки:
.
Дробь обращается в ноль при тех
,
при которых ее числитель обращается в
0 (а знаменатель не обращается в 0):
.
Решая квадратное уравнение, получаем
. Поэтому у функции 3 критические точки:
.
Наносим эти точки на числовую прямую и
определяем знаки производной на
получившихся интервалах. В нашем примере
получились интервалы
.
Для интервала
в качестве пробной точки можно взять,
например,
:
.
Для интервала
берем пробную
точку
:
.
Для интервала
считаем
.
Наконец, для
интервала
считаем
.
Расставляем
над интервалами полученные знаки
производной. Строим итоговую таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
− |
|
− |
0 |
+ |
|
↑ |
|
↓ |
нет |
↓ |
|
↑ |
{после
преобразований}
,
{после
преобразований}
.
Обратим внимание на то, что минимальное значение функции (точнее, значение функции в точке минимума) больше максимального (точнее, значения функции в точке максимума). Это часто встречается, когда функция имеет точки разрыва (наша функция имеет точку разрыва второго рода ). Наносим на эскиз точки графика, соответствующие точкам максимума и минимума.
7) Выпуклость и точки перегиба.
Ищем критические
точки графика. Находим
вторую производную:
.
Итак,
. Найденная вторая производная существует
на всей числовой прямой, кроме все той
же точки
,
а в 0 не обращается ни в одной точке.
Наносим точку
на числовую
прямую и исследуем знаки второй
производной
на получившихся интервалах.
О
чевидно,
что при
вторая производная
(числитель всегда положителен, знаменатель
тоже), а при
вторая производная
(числитель всегда положителен, а
знаменатель отрицателен). Таким образом,
выписываем направления выпуклости
графика на интервалах:
и
.
Точка
хотя и
разделяет интервалы разных знаков для
второй производной, но точку перегиба
не определяет, так как в этой точке сама
функция не определена (над этой точкой
вообще нет точки графика).
8) Достраиваем окончательно эскиз графика по полученной выше информации (см. рисунок).
Для закрепления
материала постройте графики функций
,
.