Графики основных элементарных функций

1 . Линейная функция. Это функция вида , которая уже проходилась ранее в аналитической геометрии (как уравнение прямой с угловым коэффициентом). Число называется угловым коэффициентом, а число  − свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости, не параллельная оси . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох, а ось у прямая пересекает в точке с координатой .

2 . Квадратичная функция. Это функция вида . Как известно, графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . Ветви параболы направлены вверх (если ) или вниз (если ). Координаты вершины параболы определяются по формулам: .

3. Степенная функция. Это функция вида , где − число. Форма графика функции зависит от показателя степени . Рассмотрим следующие случаи:

а) − целое положительное число. Поскольку при любом таком выполнено , то все графики проходят через точки с координатами и . Если число   − чётное, то функция  является чётной (поэтому ее график симметричен относительно оси ). Если число   − нечётное, то функция  является нечётной (поэтому ее график симметричен относительно начала координат). Иллюстрация − на рисунке.

б ) Если есть целое отрицательное число, то функция имеет вид . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для случая целых положительных значений показателя степени . Функция не определена при (на 0 делить нельзя), а ее график называют гиперболой (по аналогии со случаем , когда график действительно является той гиперболой, которая была пройдена раньше). Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла). Иллюстрация − на рисунке.

в ). Если − дробное положительное число, то, по определению, при , функция определена при , при всех таких , а графики имеют вид как на рисунке слева. Если − дробное отрицательное число, то, по определению, при , функция определена при , при всех таких , а графики имеют вид как на рисунке справа.

4. Показательная функция (в частности, экспонента). Это функция вида . Для неё . Поведение графика зависит от величины основания степени а. При график имеет вид как на рисунке слева, а при как на рисунке справа.

При (известное в математике «число е»: ) показательная функция называется экспонентой.

5. Логарифмическая функция. Это функция вида . Функция определена только для , . Поведение графика снова зависит от величины основания логарифма . На рисунке слева показан вид графика при , а на рисунке справа при .

При наиболее употребляемых основаниях логарифма и получаются так называемые десятичные и натуральные логарифмы с соответствующими принятыми обозначениями: и .

6. Тригонометрические функции. К ним относятся функции . Функция нечетна и периодична с периодом . Её график таков:

Функция четна и периодична с периодом . Она получается из графика функции сдвигом влево на (так как ). Её график таков:

Функция нечётна и периодична с периодом . Она не определена в точках (там, где косинус обращается в 0). Функция нечётна и периодична с периодом . Она не определена в точках (там, где синус обращается в 0). Графики функций представлены ниже.