Раздел VI. Исследование функций с помощью производных

Как уже говорилось выше, основное применение производной состоит в том, что она помогает исследованию самой функции , т.е. исследованию характера зависимости переменной от переменной , выраженного соотношением . Что же именно чаще всего интересует при исследовании характера зависимости одного фактора от другого? Приведем пример. Пусть имеется функциональная зависимость объема урожая (в тоннах, килограммах, граммах – у кого как) от количества внесенных удобрений (в тех же единицах), выраженная формулой . Допустим, мы внесли какое-то количество удобрений и ждем соответствующий урожай в количестве . Пусть появилась возможность дополнительно внести удобрения в количестве единиц. Стоит ли это делать? Будет ли урожай больше или мы уже внесли столь много удобрений, что дальнейшее увеличение его количества только нанесет вред урожаю? Вопрос сводится к следующему: будет ли при увеличении аргумента (с до + ) увеличиваться и значение функции или же оно будет уменьшаться? Это зависит от самого значения , Точнее, принадлежит ли оно так называемому интервалу возрастания функции или интервалу ее убывания. Нахождению таких интервалов и поможет производная (дальше, в разделе «Монотонные функции»). Ну и конечно же нас должен интересовать вопрос о том, какое количество удобрений является оптимальным (т.е. при таком количестве удобрений урожай максимален). Это сводится к нахождению такой точки (числа) , чтобы значение функции в этой точке (т.е. число ) было бы больше, чем в остальных точках. Нахождению таких чисел тоже поможет производная (в разделе «Экстремумы функции»).

Монотонные функции

Пусть нам задана некоторая функция . Обратимся к ее геометрическому образу, каковым является график этой функции. Пусть эта функция имеет график, изображенный на рисунке.

Из графика видно, что над интервалом оси график идет вниз, а над интервалом вверх. Попробуем разобраться, как это сказывается на характере зависимости от . Возьмем произвольные две точки и из интервала (так что > ) и с помощью графика определим значения и функции в этих точках (см. рисунок). Поскольку кривая графика идет вниз, то число на оси будет ниже числа , а потому < . Итак, видно, что если график над некоторым интервалом оси идет вниз, то большему значению из этого интервала соответствует меньшее значение функции (т.е. для любых чисел и из этого интервала: > => ). Естественно назвать такой интервал интервалом убывания функции . Аналогично возьмем произвольные две точки и из интервала (так что > ) и с помощью графика определим значения функции в этих точках (см. тот же рисунок). Поскольку кривая графика идет вверх, то значение на оси будет выше значения , а потому > . Итак, видно, что если график над некоторым интервалом оси идет вверх, то большему значению из этого интервала соответствует большее значение функции (т.е. для любых чисел и из этого интервала: . Естественно назвать такой интервал интервалом возрастания функции . Для сокращения записи вводятся следующие обозначения: – функция) убывает на интервале , – функция возрастает на интервале . Функция называется монотонной на некотором интервале , если она является возрастающей на всем этом интервале или убывающей на всем этом интервале. Понятно, что одна и та же функция на одних интервалах может возрастать, а на других убывать. Для приведенной выше функции интервалами монотонности будут интервалы и . А, например, интервал таковым не будет, так как на одной его части функция убывает, а на другой возрастает. Как же находить интервалы монотонности? Конечно, если имеется график функции, то эти интервалы просто видны. Но чаще всего графика нет, а есть только формула , выражающая зависимость от . В этом случае опять помогает производная. Обратимся к рисункам.

На левом рисунке изображен график возрастающей на соответствующем интервале функции, а на правом − убывающей. Попробуем почувствовать разницу. Берем произвольную точку на интервале возрастания функции (левый рисунок) и проводим касательную к графику функции в соответствующей точке. Тогда в случае возрастания функции из рисунка видно, что касательная образует острый угол с осью . По геометрическому смыслу производной . Поскольку тангенсы острых углов положительны, то . Аналогично, берем произвольную точку на интервале убывания функции (правый рисунок) и проводим касательную к графику функции в соответствующей точке. Тогда в случае убывания функции из рисунка видно, что касательная образует тупой угол с осью (напомним, что угол меряется от оси против часовой стрелки). По геометрическому смыслу производной снова . Поскольку тангенсы тупых углов отрицательны, то . Итак, мы наглядно убедились в том, что если функция возрастает на некотором интервале, то во всех точках этого интервала производная (если она существует) положительна (возможно, обращаясь в некоторых точках в 0), а во всех точках интервала убывания производная отрицательна. Справедлива соответствующая

Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда (соответственно, ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ) для всех значений из этого интервала.

Отсюда следует, что для нахождения интервалов монотонности функции не обязательно иметь перед глазами ее график. Достаточно найти ее производную и определить ее знаки. На тех интервалах, где производная положительна (точнее, неотрицательна), функция возрастает, а на интервалах отрицательности производной сама функция убывает.

П ример 1. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Эта функция выбрана в качестве примера потому, что хорошо известен ее график (парабола, см. рисунок). Поэтому, даже не пользуясь приведенной теоремой, можно заранее сказать, что и . Попробуем получить этот же результат с помощью приведенной теоремы, не обращаясь к графику . В нашем примере , а потому . Понятно, что выражение для производной положительно для всех положительных х и отрицательно для всех отрицательных. Поэтому производная для отрицательных и для положительных . И делаем на основании теоремы тот же вывод об интервалах монотонности: и .