Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале , т.е. в каждой точке этого интервала. Тогда ее производная есть тоже функция, определенная на интервале . Может оказаться (чаще всего так и бывает), что она тоже дифференцируема на этом интервале. Взяв от нее производную , получим функцию, которая называется второй производной от исходной функции и обозначается . Итак, вторая производная функции определяется как производная от ее производной: . Аналогично определяется третья производная (как производная от второй производной) и все остальные производные высших порядков.

Пример 1. Найти последовательные производные функции .

Решение. Последовательно находим: ; ; ; . Поскольку опять получилась исходная функция , то дальнейшие производные будут повторять те, что мы уже нашли.

Пример 2. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную :

.

Затем находим вторую производную как производную от первой производной:

=

={последняя производная уже была вычислена при нахождении }= .

Итак, вторая производная .

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке . Это означает, что она имеет производную в этой точке, то есть существует предел: , где, напомним, есть приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента этой функции на величину . Предположим дополнительно, что . По теореме о бесконечно малых (см. параграф «Бесконечно малые и бесконечно большие функции», хотя интуитивно это и так понятно) соотношение означает, что разность стремится к 0 при (т.е. является бесконечно малой): . Обозначим эту разность : . Выразив отсюда , получим :

(1) ,

причем − бесконечно малая при :

(2) .

Из (1) следует, что приращение функции состоит из двух слагаемых: и . Выясним, какой относительный вклад вносит в каждое из них. Составим отношение второго слагаемого к первому и вычислим предел его при :

(3) ,

что следует из (2) в принятом предположении, что . Отсюда следует, что при маленьких значениях приращения второе слагаемое в (1) становится пренебрежимо малым по сравнению с первым, а потому основной вклад в формирование в (1) вносит первое слагаемое , которое (по этой причине) является главной частью приращения функции и носит название ее дифференциала.

Дифференциалом функции в точке (обозначатся ) называется главная часть приращения этой функции, т.е. выражение . Таким образом, по определению дифференциала

(4) .

Поскольку, как отмечено выше, дифференциал является главной частью приращения функции (при малых значениях ), то выполнено приближенное равенство

(5) ,

которое ( в силу (1) и (3) ) тем точнее, чем меньше приращение аргумента .

Кроме понятия дифференциала функции, вводится и понятие дифференциала независимой переменной. Дифференциалом независимой переменной (обозначается ) называется ее приращение : . Поэтому дифференциал функции (4) в произвольной точке записывают также в виде

(6) .

О сновным свойством дифференциала является отмеченное в (5) приближенное равенство , означающее, что при малых значениях приращения независимой переменной приращение функции приближенно равно ее дифференциалу . Геометрическая иллюстрация этого приближенного равенства представлена на рисунке. На нем приращение функции , а дифференциал функции (это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника и геометрического смысла производной: ). Таким образом, приращение ординаты (т.е. y-координаты) графика функции приближенно равно приращению ординаты касательной (прямая S на рисунке) к этому графику. Отсюда следует такой интересный факт, что из всех прямых, проведенных через данную точку графика, именно касательная примыкает к нему ближе всего.

Одним из приложений понятия дифференциала функции является его применение к приближенным вычислениям. Запишем приближенное равенство (5) более подробно, расписав в нем выражения для и : или

(7) .

Это равенство и лежит в основе применения дифференциала к приближенным вычислениям. Пусть значение некоторой функции и ее производной легко вычисляется в некоторой точке , а нам необходимо найти значение функции в точке, близкой к , но значение в ней вычислить непосредственно по формуле затруднительно. Тогда можно использовать приведенное выше приближенное равенство (7).

Пример 1. Найти приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию , положим , . Тогда = , , , поэтому . Тогда из формулы (7) получаем:

= .

Окончательно . Отметим, что точное значение .

Пример 2. Доказать, что при малых справедливо: .

Указание. Аналогично предыдущему примеру: , но . Применить формулу (7), а затем заменить более приятной буквой .