Уравнение касательной
В некоторых задачах
необходимо найти уравнение касательной
к графику некоторой функции в некоторой
его точке. Для решения таких задач
требуется вспомнить данный ранее
геометрический смысл производной:
значение
производной
в произвольной точке
равно тангенсу угла наклона к оси Ох
касательной к графику функции
в точке с
х-координатой
(т.е. абсциссой), равной
.
Пусть требуется
написать уравнение касательной к графику
функции
в точке графика с абсциссой
(см. рисунок). Как и всякая наклонная
(или горизонтальная) прямая, касательная
имеет уравнение вида
. Перебирая всевозможные пары чисел
и
в этом
уравнении, будем получать у
равнения
всех наклонных (и горизонтальных) прямых
на координатной плоскости хОу.
Одна из них (при каких-то конкретных
числах
и
)
даст уравнение нужной нам касательной.
Найдем эти числа. Для этого вспомним,
что число
в уравнении прямой
называется угловым коэффициентом прямой
и равен он тангенсу угла наклона прямой
к оси Ох
. Для касательной тангенс такого угла
равен значению производной
(из геометрического смысла производной).
Таким образом, один из параметров в
уравнении касательной найден:
,
а уравнение
касательной уже можно записать в виде
.
Оставшееся число
можно найти из того условия, что
касательная должна проходить через
точку
графика, т.е. координаты этой точки, при
их подстановке в уравнение касательной
,
дают верное равенство :
,
откуда
. Подставляя полученное выражение для
в уравнение касательной
,
после легких преобразований получим
уравнение:
(1)
.
Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Таким образом, для того, чтобы по формуле (1) написать уравнение касательной, нужно знать (или найти из условий задачи) :
1) число − это х-координата точки графика, через которую проходит касательная к графику;
2) число
− это значение функции
(к графику которой строится касательная)
в точке
;
3) число
− это значение производной от функции
в точке
.
Пример 1
. Найти уравнение касательной к графику
функции
в точке с абсциссой, равной 3 .
Решение. Для этого
примера
,
а
.
Тогда
.
Далее, найдем выражение для производной
:
.
Поэтому
.
Подставляя полученное в уравнение
касательной (1), получаем
или
.
Это и есть уравнение искомой касательной.
Пример 2.
Найти уравнение касательной к графику
функции
в точке
с заданной абсциссой
.
Решение. В
нашем примере
,
.
Тогда
.
Итак,
.
Находим производную от
:
.
Итак,
, а потому
.
Подставляя полученные числа
и
в уравнение касательной (1), получаем
или
.
Рассмотрим теперь другие типы задач на касательную.
Пример 3.
Найти уравнение касательной к графику
функции
в точке
его пересечения с графиком функции
.
Решение. В данном
примере
,
но неизвестна точка
(это, напоминаем, х-координата
точки графика функции
,
через которую проходит искомая
касательная к нему). Таким образом, нам
предстоит самим найти число
как х-координату
точки пересечения графиков двух функций:
и
.
Как известно, для этого нужно приравнять
левые части уравнений, задающих эти
функции, и решить получившееся уравнение
:
,
тогда
,
а потому
. Итак,
,
а дальше можно действовать так же, как
и в предыдущих примерах. Находим
.
Находим производную:
.
Тогда
.
Подставляя полученные данные в уравнение
общее уравнение для касательной (1),
получаем
или
− уравнение искомой касательной.
Пример 4
. В какой точке параболы
касательная к ней параллельна прямой
?
Решение. Требуется
найти некоторую точку М
на параболе. Положение любой точки
определяется ее координатами. Обозначим
координаты искомой точки
и
( т.е.
) и найдем их. Поскольку искомая точка
лежит на параболе
,
то ее вторая координата
есть квадрат ее первой координаты :
.
Поэтому искомая точка
.
Таким образом, для нахождения координат
этой точки нам достаточно узнать только
одно число
− х-координату
точки касания. Это число должно быть
таким, чтобы касательная в соответствующей
точке
параболы была бы параллельна заданной
прямой. Ранее (в аналитической геометрии)
был приведен критерий параллельности
двух прямых: прямые параллельны только
в том случае, если их угловые коэффициенты
совпадают. Угловой коэффициент прямой
с уравнением
равен 4 (это коэффициент при
в уравнении прямой, записанной в форме
).
По геометрическому смыслу производной
угловой коэффициент касательной к
графику произвольной функции
в его точке с абсциссой
равен
.
Таким образом, для параллельности
касательной и данной прямой должно
выполняться условие:
.
Это и есть уравнение, для определения
:
найти число
,
в котором значение производной функции
равно 4. Значение производной в любой
точке
для данной
функции вычисляется по формуле:
.
Поэтому искомое
есть корень уравнения
,
т.е.
.
Учитывая, что координаты искомой точки
имеют вид
,
получаем окончательно:
.