Механический, экономический и геометрический смысл производной

Р

О

ассмотрим механический смысл производной. Пусть некоторое тело движется прямолинейно из точки О. Направим числовую ось вдоль линии движения, совместив начало координат с точкой О (см. рисунок). Допустим, что нам известен закон движения этого тела, т.е. известна функция , определяющая координату тела в любой момент времени . Тогда за время от момента времени до момента времени тело пройдет расстояние . Разделив пройденное расстояние на время его прохождения ( ), получим то, что в механике называется средней скоростью движения тела на временном интервале от до : . Если устремить длину интервала к 0, то в пределе средняя скорость переходит в то, что в механике называется мгновенной скоростью (или просто скоростью) в момент времени , т.е. . Итак, по определению скорости в данный момент времени: . Но данный предел по определению есть не что иное, как значение производной от функции в точке , т.е. . Поскольку момент времени выбран произвольно, то можно записать, что в любой момент времени скорость есть производная от функции, выражающей зависимость координаты тела от времени : . В этом и состоит механический смысл производной.

Перейдем к некоторым экономическим приложениям производной.

Издержки производства. Если издержки производства (например, в У.Е.) рассматривать как функцию от объема выпускаемой продукции , то производная выражает так называемые предельные издержки производства и приближенно характеризует прирост затрат на производство дополнительной единицы продукции (это следует из соотношения (2) предыдущего параграфа при ).

1. Производительность труда. Пусть выражает объем произведенной продукции за время . Тогда ее производная по смыслу есть скорость изменения объема продукции в данный момент времени, т.е. то, что называется производительностью труда в момент времени .

2. Эластичность функции. Эта величина тесно связана с производной и в экономических исследованиях часто бывает более удобной. Эластичностью функции в точке называется следующая величина : . В отличие от производной, эластичность показывает скорость относительного изменения переменной по отношению к относительному изменению переменной . Эластичность показывает, на сколько процентов (приблизительно) изменится значение функции при увеличении переменной на 1% (т.е с до ). Эластичность часто применяется при анализе зависимости спроса или предложения некоторого товара от его цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и показывает, на сколько процентов (приближенно) изменится спрос или предложение при изменении цены на 1% .

О братимся к геометрическому смыслу производной, с помощью которого в дальнейшем будут обосновываться основные приложения производной. Обратимся к графику функции (см. рисунок). Возьмем произвольное число и найдем на графике точку с х-координатой (т.е. абсциссой), равной . Поскольку эта точка должна принадлежать графику функции , то второй координатой этой точки должно быть значение функции в точке , т.е. . Через эту точку графика проведем прямую, касающуюся графика в этой точке (она называется касательной к графику в этой точке). Пусть – угол, образованный касательной и осью Ох, отложенный от оси Ох против часовой стрелки (см. рисунок). Если теперь вычислить тангенс этого угла, то его значение в точности совпадет со значением производной от исходной функции в этой точке:

(1) .

Дадим словесную формулировку геометрического смысла производной: значение производной в произвольной точке равно тангенсу угла наклона к оси Ох касательной к графику функции в точке с х-координатой (т.е. абсциссой), равной . Как будет показано дальше, производная позволяет исследовать характер зависимости фактора от фактора , если зависимость эта выражена функцией . Соответствующие свойства производной как раз будут следовать из ее геометрического смысла, выраженного формулой (1). А пока научимся находить выражения для производных различных функций.