14.3. Уравнение непрерывности

Линии полного тока являются непрерывными, физически это означает, что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения.

Можно математически сформулировать принцип непрерывности (замкнутости) линий полного тока. С этой целью от обеих частей уравнения (14.1) возьмем дивергенцию. Из предыдущего известно, что дивергенция от ротора тождественно равна нулю. Поэтому

. (14.3)

Уравнение (14.3) можно записать в другой форме. Действительно, из него следует, что . Но div D = _своб. Поэтому

(14.3')

Уравнение непрерывности (14.3') называют также законом сохранения заряда. Этот закон означает, что электрический заряд не уничтожает, он может только перемещаться из одного места в другое.

14.4. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла записывают следующим образом:

. (14.4)

Физический смысл его состоит в том, что всякое изменение магнитного поля во времени в какой-либо точке поля возбуждает вихрь или ротор электрического поля в той же точке поля, т.е. вызывает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции.

Для того чтобы убедиться в этом, проведем следующие рассуждения. Мысленно возьмем некоторый замкнутый контур, расположенный в переменном электромагнитном поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий контур, наведет в нем э.д.с.

.

Но , поэтому , причем площадь S опирается на контур l. На основании теоремы Стокса , поэтому

= . (14.5)

Равенство (14.5) должно выполняться при любых площадях S, что возможно только в том случае, когда равны подынтегральные функции обоих интегралов. Следовательно,

= .

Знак «минус» в правой части второго уравнения Максвелла (как и в формуле объясняется тем, что в основу положено правило правого винта. Если завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора магнитной индукции В в некоторой точке пространства при возрастании индукции в этой точке совпадет с направлением движения острия винта, то положительное направление для вектора напряженности электрического поля Е при составлении циркуляции вектора Е вдоль бесконечно малого контура, окружающего эту точку и лежащего в плоскости, перпендикулярной вектору B, совпадет с направлением вращения головки винта. Знак «минус» в правой части (14.4) поставлен для того, чтобы привести в соответствие действительное направление для Е при оговоренных ранее условиях с направлением, принятым для Е за положительное.

Как в первом, так и во втором уравнениях Максвелла участвуют частные (не полные) производные во времени. Объясняется это тем, что уравнения Максвелла записаны для таких тел и контуров, которые неподвижны по отношению к выбранной системе координат.

В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий электрического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электрических зарядах (как в электростатическом поле) могут быть и замкнутые на себя силовые линии электрического поля, охватывающие замкнутые на себя силовые линии магнитного поля.