
- •Раздел второй теоретические основы электромагнитного поля
- •Глава одиннадцатая электростатическое поле
- •11. 1. Определение электростатического поля
- •11.2. Закон Кулона
- •11.3. Основные величины, характеризующие электростатическое поле: потенциал и напряженность
- •11.4. Электростатическое поле - поле потенциальное
- •11.5. Силовые и эквипотенциальные линии
- •11.6. Выражение напряженности в виде градиента от потенциала
- •11.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)
- •11.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора через поверхность
- •11.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества
- •11.11. Вектор поляризации
- •11.12. Вектор электрической индукции d
- •11.13. Теорема Гаусса в интегральной форме
- •11.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда
- •11.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •11.16. Вывод выражения для div е в декартовой системе координат
- •11.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции
- •11.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
- •11.20. Граничные условия
- •11.21. О поле внутри проводящего тела в условиях электростатики
- •11.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика
- •11.23. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями
- •11.24. Теорема единственности решения
- •11.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения
- •11.26. Поле заряженной оси
- •11.27. Поле двух параллельных заряженных осей
- •11.28. Поле двухпроводной линии
- •11.29. Емкость
- •11.30. Емкость двухпроводной линии
- •11.31. Метод зеркальных изображений
- •11.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •11.33. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла
- •11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла
- •11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла
- •11.36. Шар в равномерном поле
- •11.37. Проводящий шар в равномерном поле
- •11.38. Диэлектрический шар в равномерном поле
- •11.39. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле
- •11.40. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях
- •ПояснениЯ к решению задач
- •Примеры РешениЯ задач
- •Основные формулы
- •Контрольные вопросы
11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла
Решим систему (11.46) относительно зарядов, полагая потенциалы и коэффициенты известными:
1=111 +212 +313+…
2=121 +222 +323+… (11.47)
3 = 131+232+333+…
Коэффициенты
.
Здесь через обозначен
определитель системы (11.46)
11
12
13
…
= 21 22 23 … .
31 32 33 …
Алгебраическое дополнение kn получается из определителя системы путем вычеркивания k строки и n столбца и умножения таким путем полученного определителя на (-1)k+n.
Система (11.47) является второй группой формул Максвелла. Коэффициенты называют емкостными коэффициентами. Размерность их обратна размерности коэффициента . Так как определитель системы симметричен относительно главной диагонали, то kn = nk, и потому kn = nk Вcе c одинаковыми индексами положительны, все с разными индексами отрицательны.
Убедимся, например, в том, что 11 положительно, а 21, 31 отрицательны. С этой целью проделаем такой опыт: все провода, кроме первого, соединим тонкими (чтобы не искажать поля) проводниками с землей. Потенциал земли примем равным нулю. При этом из (11.47) следует, что
1 = 111
2 = 211 (11.47')
3 = 311
Придадим первому проводу положительный по отношению к земле потенциал, соединив его с землей, например, через батарею (рис. 11.19, а). Заряд первого провода положителен и потенциал первого провода положителен (1>0; 1 > 0).Отрицательный заряд растечется по земле и по всем телам, с ней электрически соединенными.
Все провода, кроме первого, поскольку они электрически соединены с землей, приобретут отрицательные заряды
2 = 0 2 < 0,
3 = 0 3 < 0.
Рис. 11.17. Система проводящих тел (линия электропередачи).
Из системы (11.47') следует, что 11 = 1/1 >0, а 21 = 2/1 < 0 и 31 = 3/1.
Коэффициенты km, и kk могут быть определены и опытным путем. Рассмотрим, как определить коэффициенты 11 и 22.
Если после зарядки провода 1 (ключ К. на рис. 11.17,а включен) до известного потенциала 1 ключ К разомкнуть, убрать батарею, включить гальванометры G1 и G2 (рис. 11.17, б) и затем замкнуть ключ К, то система разрядится; G1 измерит заряд 1; G2 измерит заряд 2. Далее находим 11 = 1/1 и 21 = 2/1.
11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла
Систему (11.47) принято записывать еще и в иной форме, а именно так, чтобы в каждой строчке справа были не потенциалы, а разности потенциалов между данным телом и всеми остальными, в том числе и землей. В соответствии с (11.47) заряд k тела равен
.
Слагаемое
kmm = km(m - k + k) = -kmUkm + kmk.
Поэтому
.
Обозначим
Ckk
= k1
+ k2
+…+ kk
+…+kn
=
и
Сkm = - km.
Тогда
k
= kCkk
+ Uk1Ck1
+ Uk2Ck2
+ …=kCkk
+
.
(11.48)
Если придать k значения 1, 2, 3, то получим
1 = 1C11 + U12C12 + U13C13 + …
2 = 1C22 + U2121 + U23C23 + … (11.48’)
……………………………. …
Система (11.48) является третьей группой формул Максвелла. Коэффициенты Сkk называют собственной частичной емкостью, коэффициенты Сkm—взаимные частичные емкости. Часто слова «собственная» и «взаимная» опускают.
Так как
km = mk,
то и
Ckm = Cmk.
Размерность частичных емкостей та же, что и размерность емкостных коэффициентов . Все частичные емкости положительны. Так как Сkm = - km, а km < 0, то, очевидно, что Сkm > 0. Для того чтобы убедиться в том, что Сkk положительно, проведем следующий опыт: соединим тонкими металлическими проводниками все провода с k проводом. Все Ukm=0, и из (11.48) следует, что k = kCkk.
Если первому
проводу сообщить положительный по
отношению к земле потенциал (потенциал
земли принят равным нулю), соединив его
с плюсом батареи, минус которого соединен
с землей, то k
и k
будут положительными и отношение их
Сkk = k/k
> 0; Ckk
оказывается положительным, несмотря
на то, что в состав его может входить
большое число отрицательных коэффициентов
km
(коэффициент kk
больше, чем
).
Полный заряд k тела равен сумме
зарядов. Заряд kСkk
обусловлен разностъю потенциалов между
k телом и землей; UkmCkm
заряд, обусловленный разностью
потенциалов между k и m
телами. Поэтому частичной емкости Ckm
между k и m телами
можно дать следующее толкование; Сkm
есть отношение составляющей заряда k
тела, обусловленной разностью потенциалов
Ukm
между k и m телами,
к величине этой разности потенциалов.
Для более наглядной иллюстрации системы (11.48) можно представить, что в системе трех проводов (рис. 11.18) первый провод как бы соединен с обкладками трех конденсаторов С11, С12, и C13. Заряды на обкладках этих конденсаторов, обращенных к проводу 1, соответственно равны 1C11; U12C12; U13C13. Заряды на других обкладках записаны на рис. 11.18.
Рис. 11.18. Частичные емкости системы проводящих тел.
Три группы формул Максвелла справедливы для системы заряженных тел любой формы, однако, если тела имеют произвольную форму, то потенциальные коэффициенты уже не могут определяться по формулам (11.46'), справедливым только для системы линейных бесконечно длинных проводов.
Определение емкостных коэффициентов и частичных емкостей в этом случае производится опытным путем. Частичные емкости используются при расчетах не только электростатических полей, они находят применение при расчетах быстропротекающих процессов в электрических цепях, а также при расчетах таких процессов в электрических цепях, в основу которых положено использование частичных емкостей, например, при емкостном отборе мощности от высоковольтной линии электропередачи. Частичные емкости между электродами электронных ламп, между электродами полупроводниковых триодов учитывают при расчетах быстропротекающих процессов.