5.7 Визначення пришвидшення вантажу за рівнянням Лагранжа іі роду

Рівняння Лагранжа ІІ роду має вид:

(5.72)

де – кінетична енергія системи; – узагальнена координата; – узагальнена сила; – узагальнена швидкість; – число ступеней вільності системи (число узагальнених координат).

Число рівнянь Лагранжа рівне числу незалежних узагальнених координат даної системи.

Невідомі реакції ідеальних в’язей, накладених на систему, в ці рівняння не входять.

Кінетична енергія механічної системи визначається, як функція узагальнених координат, узагальнених швидкостей і часу.

Кожній узагальненій координаті відповідає своя узагальнена сила, яка визначається за формулою

. (5.73)

Розглянемо задану механічну систему (рис. 5.10).

Рисунок 5.10

Ця система має одну ступінь вільності, а тому її положення може бути визначено однією узагальненою координатою. За узагальнену координату приймемо переміщення ланки 3, тоді узагальнена швидкість буде рівна .

На основі (5.72) складаємо рівняння Лагранжа

. (5.74)

1. Кінетичну енергію системи визначимо як функцію узагальненої швидкості . Скористаємося виразом (5.59)

. (5.75)

2. Прикладемо до системи всі задані сили

і моменти . Для обчислення узагальненої сили , яка відповідає узагальненій координаті , надамо цій координаті приріст і складемо суму елементарних робіт всіх заданих сил на отриманому переміщенні системи:

. (5.76)

На основі співвідношень (5.8)

. (5.77)

(5.76) прийме вигляд

. (5.78)

Узагальнена сила на основі (5.73) рівна

. (5.79)

3. Отримані значення підставляємо в (5.74). Для цього попередньо знайдемо відповідні похідні:

;

(5.80)

.

4. Підставляючи (5.79) і (5.80) в рівняння (5.74) і виконуючи певні перетворення, отримаємо

, (5.81)

що відповідає виразу, отриманому раніше.

5.8 Числовий розрахунок пришвидшення вантажу

Для отримання числового значення визначимо:

1. Силу тертя вантажу 3 з площиною нахиленою до горизонталі під кутом .

(Н). (5.82)

2. Сила тертя вантажу 4 з площиною нахиленою до горизонталі під кутом рівна

(Н). (5.83)

3. Момент тертя кочення котка 1 рівний

(Нм). (5.84)

4. Момент інерції однорідного циліндричного котка, визначається формулою

(кгм²), (5.85)

де – маса котка; – вісь, яка проходить через центр мас перпендикулярно площині рисунка; – радіус котка.

5. Момент інерції шківа 2, маса якого рівнорозподілена вздовж його ободу, рівний

(кгм²), (5.86)

де – радіус обода шківа.

6. Момент інерції шківа 5, радіус інерції якого рівний м

(кгм²). (5.87)

7. Підставимо значення мас ланок механізму, радіусів шківів і котка, моменту опору кутів , а також (5.5), (5.87), (5.86), (5.85), (5.84), (5.83) і (5.82) в (5.81), отримаємо:

(5.88)

(м/с²)

Відповідь: Прискорення вантажу 3 рівне м/с².