5.2 Кінематичний розрахунок

Виразимо швидкості всіх ланок механізму через швидкість ланки, пришвидшення якої визначається. В прикладі, який розглядається, визначається пришвидшення вантажу 3, то виразимо швидкості всіх ланок механізму через його лінійну швидкість – .

Згідно рис. 5.3.

;

; (5.6)

;

.

Диференціюючи рівняння (5.6) по часу, знайдемо залежності між відповідними пришвидшеннями

(5.7)

.

Інтегруючи рівняння (5.6) за часом, знайдемо залежності між відповідними переміщеннями

(5.8)

.

5.3 Визначення пришвидшення вантажу методом складання диференціальних рівнянь руху кожної ланки механізму

Система (рис. 5.4) складається з п’яти тіл: двох вантажів 3 і 4, двох шківів 2 і 5 і циліндричного котка 1. Вантажі здійснюють поступальні рухи, шківи здійснюють обертальні рухи, а коток здійснює плоскопаралельний рух.

Рисунок 5.4

Складаємо диференціальні рівняння руху цих тіл.

1. Диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла по осі абсцис має вигляд

, (5.9)

де – маса тіла; – проекція вектора пришвидшення тіла на вісь абсцис; – сума проекцій сил, діючих на тіло, на вісь . На тіло 3 діють сили і .

Рівняння (5.9) для рухомого тіла 3 прийме вид

. (5.10)

До тіла 4 прикладені сили і .

На основі (5.9) отримаємо

. (5.11)

2. Диференційне рівняння для обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

, (5.12)

де – момент інерції тіла відносно осі обертання; – кутове пришвидшення тіла; – сума моментів всіх сил відносно осі обертання.

Розглянемо шків 2.

На нього діють сили і момент сил опору .

Згідно (5.12)

. (5.13)

До шківа 5 прикладені сили .

На основі (5.12) отримаємо

. (5.14)

3. Розглянемо коток 1, котрий здійснює плоский рух, диференційні рівняння для плоскопаралельного руху твердого тіла записуються так:

(5.15)

де – маса тіла;

– проекції вектора пришвидшення центра мас тіла на осі абсцис і ординат;

– сума проекцій сил, які діють на тіло, на ці осі;

– момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр мас тіла;

– кутове пришвидшення тіла;

– сума моментів всіх сил відносно осі, яка проходить через центр мас тіла.

На коток 1 діють сили сила щеплення і момент тертя кочення .

Рівняння руху згідно (5.15) мають вигляд

; (5.16)

(5.17)

4. Таким чином, система диференціальних рівнянь руху ланок механізму така

(5.18)

де згідно зі співвідношенням (5.17)

(5.19)

Відмітимо, що

.

Розв’язуючи систему рівнянь (5.18) і враховуючи (5.19) отримаємо

. (5.20)

5.4 Визначення пришвидшення вантажу за теоремою про зміну моменту кількості руху механічної системи

Зміна кінетичного моменту системи відносно осі виражається рівнянням

, (5.21)

де – кінетичний момент системи відносно осі; – головний момент всіх зовнішніх сил, які діють на систему відносно тоєї ж осі.

Для розв'язання задачі даним методом необхідно:

1. Знайти кінетичний момент системи відносно осей обертання, як суму моментів кількості руху тіл, які входять в цю систему відносно даної осі.

2. Прикласти всі зовнішні сили, діючі на систему.

3. Знайти суму моментів всіх зовнішніх сил відносно осі обертання, яка розглядається.

4. Отримані результати підставити в рівняння (5.21) і розв’язати це рівняння.

Перейдемо до розв’язку задачі.

1. Спочатку розглянемо систему тіл (вантаж 3 і шків 5, рис. 5.5) які рухаються відносно осі . Кінетичний момент цієї системи відносно осі знайдемо як суму моментів кількості руху вантажу 3 і шківа 5

. (5.22)

Рисунок 5.5

Момент кількості руху вантажу 3 відносно осі

, (5.23)

де – швидкість вантажу 3.

Момент кількості руху ланки 5 відносно осі

, (5.24)

де – момент інерції ланки 5 відносно осі ; – кутова швидкість ланки 5.

Враховуючи (5.23) і (5.24) вираз (5.22) приймає вигляд

. (5.25)

Прикладемо всі зовнішні силові фактори, діючі на цю систему (рис. 5.5).

Це будуть

– сили ваги ланок;

– сили тертя вантажу з похилою площиною;

– нормальна реакція похилої площини;

– реакція підшипника ланки 5;

– сила натягу нитки, яка з’єднує шків 5 і коток 1;

– задана змінна сила, діюча на ланку 3.

Знаходимо суму моментів всіх цих сил відносно осі .

Отримаємо

.(5.26)

Примітка.

Моменту приписуємо знак “+”, якщо він напрямлений в сторону обертання ланки 5, і знак “-”, якщо він напрямлений в протилежну сторону.

Підставляючи (5.26) і (5.25) в рівняння (5.21), попередньо врахувавши співвідношення (5.6)

, (5.27)

отримаємо

. (5.28)

Звідки

. (5.29)

2. Розглянемо ланки 4 і 2 (рис. 5.6), які рухаються відносно осі . Кінетичний момент цієї системи відносно осі знайдемо як суму моментів кількості руху вантажу 4 і шківа 2

. (5.30)

Рисунок 5.6

Момент кількості руху вантажу 4 відносно осі

, (5.31)

де – швидкість ланки 4.

Момент кількості руху шківа 2 відносно осі

, (5.32)

де – момент інерції ланки 2 відносно осі ; – кутова швидкість ланки 2.

Враховуючи (5.31) і (5.32) вираз (1.30) буде мати вигляд

, (5.33)

де на основі (5.6)

. (5.34)

Прикладемо всі зовнішні силові фактори, які діють на ланки 4 і 2 (рис. 5.6):

– сили ваги ланок 4 і 2;

– сила тертя вантажу 4 по похилій площині;

– реакція підшипника ланки 2;

– сила натягу нитки, яка з’єднує шків 2 і коток 1.

Знаходимо суму моментів всіх цих сил відносно осі .Отримаємо

. (5.35)

Підставимо (5.35) і (5.33), враховуючи (5.34) в (5.21), отримаємо

. (5.36)

Звідки

. (5.37)

3. Розглянемо коток 1, який здійснює плоскопаралельний рух (рис. 5.7).

Рисунок 5.7

В нашому випадку коток 1 поступально рухається по горизонтальній площині з швидкістю і обертається навколо миттєвої осі з кутовою швидкістю .

Кінетичний момент ланки 1 відносно миттєвої осі обертання знаходимо як суму моментів кількості руху в поступальному і обертальному його рухах.

. (5.38)

Момент кількості руху котка 1 відносно осі в поступальному русі

. (5.39)

Момент кількості руху відносно осі в його обертальному русі

, (5.40)

де – момент інерції котка відносно осі , яка проходить через центр мас .

Підставляючи (5.39) і (5.40) в (5.38) отримаємо

, (5.41)

де на основі (5.6), маємо:

. (5.42)

Прикладемо всі зовнішні силові фактори, діючі на ланку 1

– сила ваги котка;

– сили натягу ниток, які з’єднують коток 1 з шківами 5 і 2;

– момент тертя кочення;

– сила щеплення котка з площиною.

Знаходимо суму моментів всіх цих силових факторів відносно миттєвої осі обертання .

Отримаємо

. (5.43)

Підставимо (5.43) і (5.41), враховуючи (5.42) в (5.21), отримаємо

. (5.44)

Звідки

. (5.45)

4. Розв’язуючи систему рівнянь (5.29), (5.37) і (5.45) і враховуючи, що і , отримаємо

(5.46)

що відповідає виразу, отриманому раніше.