Задача 2.8

Дано: U = 120 В; R₀ = 2 Ом; R₁ = 6 Ом; R₂ = 2 Ом; X = 8 Ом; f = 50 Гц.

Решение

Е мкость конденсатора C = 1/(2fX) = 1/(2∙3,14∙50∙8) = 2,48∙10^-4 Ф.

Сопротивления параллельных ветвей

Z₁ = R₁ + jX = 6 + j8 = 10e ^j538 Ом;

Z₂ = R₂ – jX = 2 – j8 = 8,25e^{– j7558} Ом.

Сопротивление параллельного участка цепи при резонансе

R₁₂ = R₁R₂/(R₁ + R₂) = 6∙2/(6 + 2) = 1,5 Ом.

Сопротивление цепи при резонансе R = R₀ + R₁₂ = 2 + 1,5 = 3,5 Ом.

Токи при резонансе

I₁ = U/R = 120/3,5 = 34,3 А;

I₂ = I₁Z₂/(R₁ + R₂) = 34,3∙8,25e^{– j7558}/(6 + 2) = 35,4e^{– j7558} А;

I₃ = I₁Z₁/(R₁ + R₂) = 34,3∙10e ^j538/(6 + 2) = 42,6e ^j538 А.

Напряжения на участках при резонансе

U_ab = R₀I₁ = 2∙34,3 = 68,6 В.

U_bc = R₁₂I₁ = 1,5∙34,3 = 51,4 В.

Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

Задача 2.11

Дано: E₁ = 200 В; E₂ = 200 + j200 В; Z_вт1 = Z_вт2 = 1 + j2 Ом; Z₁ = 20 Ом; Z₂ = 6 – j8 Ом; Z₃ = 9 + j12 Ом.

Решение

К омплексные сопротивления ветвей

Z_в1 = Z_вт1 + Z₁ = (1 + j2) + 20 = 21 + j2 Ом = 21,1e ^j526 Ом;

Z_в2 = Z_вт2 + Z₂ = (1 + j2) + (6 – j8) = 7 – j6 Ом = 9,22e ^{–j4036} Ом;

Z_в3 = Z₃ = 9 + j12 Ом = 15e ^j538 Ом;

Комплексные проводимости ветвей

Y₁ = 1/Z_в1 = 1/21,1e ^j526 = 0,0474e^{– j526} = 0,0472 – j0,0045 См;

Y₂ = 1/Z_в2 = 1/9,22e ^{–j4036} = 0,1085e ^j4036 = 0,0824 + j0,0706 См;

Y₃ = 1/Z_в3 = 1/15e ^j538 = 0,0667e^{–j538} = 0,0400 – j0,0533 См.

Уравнения Кирхгофа

для узла a I₁ + I₂ – I₃ = 0;

для левого контура I₁Z_в1­ + I₃Z_в3 = _­E₁;

для правого контура I₂Z_в2­ + I₃Z_в3 = _­E₂.

I₁ + I₂ – I₃ = 0;

I₁(21 + j2) + I₃(9 + j12) = 200;

I₂(7 – j6)+ I₃(9 + j12) = _­200 + j200;

I₃ = I₁ + I₂;

I₁(21 + j2) + (I₁ + I₂)(9 + j12) = 200;

I₂(7 – j6)+ (I₁ + I₂)(9 + j12) = _­200 + j200;

I₁(30 + j14) + I₂(9 + j12) = 200;

I₁(9 + j12) + I₂(16 + j6) = _­200 + j200;

∆ = = 459 + j188;

∆₁ = = 3800 – j3000; ∆₂ = = 1400 + j6400.

Токи в ветвях

I₁ = ∆₁/∆ = (3800 – j3000)/(459 + j188) = 8,80 – j8,50 А = 9,76e ^{–j6034} А;

I₂ = ∆₂/∆ = (1400 + j6400)/(459 + j188) = 7,50 + j10,87 А = 13,21e ^j5523 А;

I₃ = I₁ + I₂ = (8,80 – j8,50) + (7,50 + j10,87) = 12,30 + j2,37 А = 12,53e ^j1054 А.

Баланс активных мощностей:

активная мощность, отдаваемая источниками,

P_и = Re(E₁I; *₁ + E₂I; *₂) = Re(200∙(8,80 + j8,50) + (200 + j200)(7,50 – j10,87)) = 4634 Вт;

активная мощность, потребляемая нагрузкой,

P_н = R_в1I1; 2 + R_в2I2; 2 + R_в3I3; 2 = 21∙9,76² + 7∙13,21² + 9∙12,53² = 4634 Вт.

Задача 3.1

Дано: треугольник; U_л = 127 В; R_ф = 3 Ом; X_ф = -4 Ом.

Решение

Комплексное сопротивление фазы Z_ф = R_ф + jX_ф = 3 – j4 Ом = 5e ^–j53°8 Ом.

Линейные напряжения источника U_ab = 127 В; U_bc = 127e^{– j120°} В; U_ca = 127e ^j120° В.

Симметричный приемник.

Ф азные токи

I_ab = U_ab/Z_ф = 127e ^j0/5e ^–j53°8 = 14,66e^j538 A = 8,80 + j11,73 А;

I_bc = U_bc/Z_ф = 127e^{– j120°}/5e ^–j53°8 = 14,66e^{–j6652} A = 5,76 – j13,49 А;

I_ca = U_ca/Z_ф = 127e ^j120°/5e ^–j53°8 = 14,66e^j1738 = -14,56 + j1,75 A.

Линейные токи

I_A = I_ab – I_ca =

= (8,80 + j11,73) – (-14,56 + j1,75) = 23,36 + j9,98 A = 25,4e ^j23°8 А;

I_B = I_bc – I_ab =

= (5,76 – j13,49) – (8,80 + j11,73) = -3,04 – j25,22 A = 25,4e ^{–j96°52} А;

I_C = I_ca – I_bc =

= (-14,56 + j1,75) – (5,76 – j13,49) = -20,32 + j15,24 A = 25,4e ^j143°8 А.

Потребляемая активная мощность приемника P = 3U_abI_ab cos (Arg Z_ф) = 3∙127∙14,66∙cos (– 538) = 1935 Вт.

Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

Обрыв фазы ca нагрузки.

Ф азные токи

I_ab = U_ab/Z_ф = 127e ^j0/5e ^–j53°8 = 14,66e^j538 A = 8,80 + j11,73 А;

I_bc = U_bc/Z_ф = 127e^{– j120°}/5e ^–j53°8 = 14,66e^{–j6652} A = 5,76 – j13,49 А.

I_ca = 0.

Линейные токи

I_A = I_ab = 8,80 + j11,73 = 14,66e^j538 A.

I_B = I_bc – I_ab =

= (5,76 – j13,49) – (8,80 + j11,73) = -3,04 – j25,22 A = 25,4e ^{–j96°52} А;

I_C = – I_bc = = – (5,76 – j13,49) = 14,66e^j1138 А.

Потребляемая активная мощность приемника P = 2U_abI_ab cos (Arg Z_ф) = 2∙127∙14,66∙cos (– 538) = 1290 Вт.

Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

Обрыв линейного провода B.

Ф азные токи

I_ab = I_bc = U_ca/(2Z_ф) =

= 127e ^j120°/(2∙5e ^–j53°8) = 7,33e ^j1738 A = -7,28 + j0,88 А;

I_ca = U_ca/Z_ф = 127e ^j120°/5e ^–j53°8 = 14,66e^j1738 = -14,56 + j1,75 A.

Линейные токи

I_A = I_ab – I_ca =

= (-7,28 + j0,88) – (-14,56 + j1,75) = 7,28 – j0,88 A = 7,33e^{– j6°52} А.

I_B = 0.

I_C = I_ca – I_bc =

= (-14,56 + j1,75) – (-7,28 + j0,88) = -7,28 + j0,88 A = 7,33e ^j173°8 А.

Потребляемая активная мощность приемника P = (3/2)U_caI_ca cos (Arg Z_ф) = 127∙14,66∙cos (– 538) = 968 Вт.

Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

Задача 4.4

Дано: U = 100 В; C = 15 мкФ; k = 4,0; t = 42 с.

Решение

П ереходное напряжение на конденсаторе при разрядке U_С = Ue^-t/

Постоянная времени переходного процесса

 = t/ln k = 42/ln 4,0 = 30,3 с.

Сопротивление изоляции конденсатора

R = /C = 30,3/15∙10^-6 = 2,02∙10⁶ Ом.

Задача 5.1

Дано: i_L = 20 + ∙10∙sin t + ∙5∙sin 2t; R₁ = R₂ = R = 1,0 Ом; X_L = 2,0 Ом; X_C = 4 Ом.

Решение

i _L = I_0L + I_1mL sin t + I_2mL sin 2t.

Амплитуды гармоник тока в ветви R₁, L

I_0L = 20 А; I_1mL = ∙10 = 14,14 А; I_2mL = ∙5 = 7,07 А.

Комплексные сопротивления ветвей для гармоник

Z₁₁ = R₁ + jX_L = 1,0 + j2,0 Ом; Z₂₁ = R₂ – jX_C = 1,0 – j4 Ом;

Z₁₂ = R₁ + j(2X_L) = 1,0 + j(2∙2,0) = 1,0 + j4 Ом; Z₂₂ = R₂ – j(X_C/2) = 1,0 – j(4/2) = 1,0 – j2 Ом.

Комплексные сопротивления цепи для гармоник

Z₁ = R + = 1,0 + = 3,75 + j2,75 Ом = 4,65e ^j3615 Ом;

Z₂ = R + = 1,0 + = 3,75 – j0,75 Ом = 3,82e ^{– j1119} Ом.

Комплексные амплитуды гармоник токов

в ветви R₂, C

I_1mC = I_1mL = 14,14∙ = -19,80 – j16,97 А = 26,1e ^{–j13924} А;

I_2mC = I_2mL = 7,07∙ = -2,91 – j2,50 А = 3,83e ^{–j13924} А;

в неразветвленной части цепи

I_1m = I_1mL + I_1mC = 14,14 +(-19,80 – j16,97) = -5,66 – j16,97 А = 17,89e ^{- j10826} А;

I_2m = I_2mL + I_2mC = 7,07 + (-2,91 – j2,50) = 4,16 – j2,50 А = 4,85e ^{–j3058} А.

Комплексные амплитуды гармоник напряжения на зажимах цепи

U_1m = I_1mZ₁ = 17,89e ^{- j10826}∙4,65e ^j3615 = 83,2e ^{–j7211};

U_2m = I_2mZ₂ = 4,85e ^{–j3058}∙3,82e ^{– j1119} = 44,7e ^{–j1826}.

Постоянные составляющие токов в неразветвленной части цепи и в ветви R₂, C

I₀ = I_0L = 20 А; I_0C = 0.

Активное сопротивление цепи R₀ = R + R₁ = 1,0 + 1,0 = 2 Ом.

Постоянная составляющая напряжения на зажимах цепи U₀ = I₀R₀ = 20∙2 = 40 В.

Мгновенное напряжение на зажимах цепи

u = U₀ + U_1m sin(t + _u1) + U_2m sin(2t + _u2) = 40 + 83,2 sin(t – 7211) + 44,7 sin(2t – 1826).

Мгновенные токи в ветви R₂, C и в неразветвленной части цепи

i_C = I_0C + I_1mC sin(t + _i1C) + I_2mC sin(2t + _i2C) = 26,1 sin(t – 13924) + 3,83(2t – 13924);

i = I₀ + I_1m sin(t + _i1) + I_2m sin(2t + _i2) = 20 + 17,89 sin(t – 10826) + 4,85 sin(2t – 3058).

Активная мощность на зажимах цепи

P = U₀I₀ + (1/2)U_1mI_1mcos ₁ + (1/2)U_2mI_2mcos ₂ = 40∙20 + (1/2)∙83,2∙17,89∙cos (3615) + (1/2)∙44,7∙4,85∙cos (-3058) = 1506 Вт.