Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов

Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое применение при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического, биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от нескольких переменных (факторов).

Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Целевые задачи:

знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;

уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Краткие сведения из теоретического курса

Основные понятия

Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается .

Функция задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства (x, y, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением .

Рассмотрим функцию z=f(x,y). Дадим аргументу х приращение х, а аргументу у – приращение у. Тогда функция z получит наращенное значение .

Величина называется полным приращением функции в точке . Частным приращением по переменной х называется величина: . Аналогично определяется частное приращение по переменной у: .

Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Частной производной от функции по независимой переменной х называют конечный предел , вычисленный при постоянном у. Обозначается: или .

Частной производной от функции по независимой переменной у называют конечный предел , вычисленный при постоянном х. Обозначается: или .

Пусть функция z=f(x,y) имеет две непрерывные частные производные .

Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y) по х и обозначаются .

Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y) по х и обозначаются .

Полный дифференциал функции

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных, т. е. . Так как и тогда можно записать: или .

Частные производные второго порядка

Пусть функция имеет частные производные первого порядка . Так как производные являются функциями аргументов х и у, то можно найти производные от этих функций. Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) данной функции .

Так, для функции z = f(x, у) двух аргументов х и у (предполагается, что все производные первого порядка существуют) частные производные второго порядка:

.

Частные производные называются смешанными частными производными второго порядка.