Занятие 1.Понятие функции, предела и непрерывности функции. Производная функции

Актуальность темы: Предел функции используется в определении многих математических понятий, например, производной функции одного аргумента, производной функции нескольких переменных, непрерывности функции, определенного интеграла и т. д. Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при изучении скорости разных процессов

Цель занятия: Выработать навыки нахождения пределов функций одной переменной и закрепить навык нахождения производных функций одной переменной, производных сложных функций.

Целевые задачи:

знать: понятия предела функции, понятие бесконечно малой функции, основные теоремы о пределах; понятия приращения аргумента и функции, понятие производной функции, ее геометрический и механический смысл, производную сложной функции, основные правила дифференцирования и таблицу производных;

уметь: находить простейшие пределы; применять основные правила дифференцирования и таблицу производных при решении примеров, находить производные сложных функций.

Краткие сведения из теоретического курса Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции.

Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко­торое каждому элементу х  Х сопоставляет один и только один элемент у  У, называется функцией и записывается у =f(x), или х  Х: Х  У. Говорят еще, что функция f отобража­ет множество Х на множество У.

Рис. 1.1. Примеры соответствий между множествами

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунках а) и б), являются функциями, а на рисунках в) и г) – нет. В случае в) – не каждому элементу х  Х соответствует элемент у  У. В случае г) не соблюдается условие однозначности.

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех у  У называется множеством значений функции f и обозначается Е(f).

Определение предела функции и бесконечно малой функции

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение: Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при х  х₀), если для любого положительного  найдется такое положительное число , что для всех хх₀, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывается предел функции в точке следующим образом: .

Геометрически смысл предела функции: , если для любой ε–окрестности точки А найдется такая этой δ – окрестность точки х₀, что для всех х х₀ из этой δ – окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε–окрестности точки А. То есть, точки графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у =А+, у =А–. Величина  зависит от выбора  (рис. 1.2).

Рис. 1.2. К понятию предела функции

Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х  х₀, если .

Обозначают бесконечно малые функции греческими буквами   или хх и т. д.

Теорема (о связи бесконечно малой функции и предела). Если функция f(x) при х  х₀ имеет предел, равный числу А, то она может быть представлена в виде f(x)= A + (x), где (x) – бесконечно малая.

Справедливо и обратное утверждение: Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции f(x) при х  х_0.