2.5.3. Розрахунок параметрів експоненційної регресії з використанням функції лгрфприбл.
Для експоненційною апроксимації в Excel існує функція ЛГРФПРИБЛ(від. зн. Y, від. зн. X, константа, статистика) вона повертає масив значень які описують криву виду:
від. зн. Y - це відомі значення функції від. зн. X - це відомі значення аргументів
константа – визначає чому має дорівнювати b, якщо константа має значення ЛОЖЬ то b вважається рівним 1, інакше b обчислюється звичайним чином.
статистика – якщо значення дорівнює ИСТИНА то буде представлена додаткова регресійна статистика, якщо ЛОЖЬ то ні.
Для отримання експоненційної регресійної залежності, з висновком всієї статистичної інформації слід виділити діапазон I54: K58, натиснути клавішу F2, і ввести формулу = ЛГРФПРИБЛ (P2: P38; N2: O38; 1; 1), після закінчення введення формули натиснути комбінацію клавіш Ctrl + Shift + Enter так як дана функція повертає масив значень. В результаті в цьому діапазоні буде отримана повна статистична інформація:
Експоненціальна залежність |
||
1.0002 |
1.00007 |
1030.47 |
1.9E-05 |
0.000 |
0.046 |
0.940 |
0.057 |
#Н/Д |
266.115 |
34 |
#Н/Д |
1.702 |
0.109 |
#Н/Д |
Отримані числа мають наступний зміст:
mn |
mn-1 |
… |
b |
Sen |
Sen-1 |
… |
Seb |
R2 |
Sey |
|
|
F |
Df |
|
|
Ssreg |
Ssresid |
|
|
Se – стандартна помилка для коефіцієнта m
Seb – стандартна помилка для вільного члена b
R2 – коефіцієнт детермінованості, який показує як близько рівняння описує вихідні дані. Чим ближче він до 1, тим більше сходиться теоретична залежність і експериментальні дані.
Sey – стандартна помилка для y
F - критерій Фішера визначає випадкова чи ні взаємозв'язок між залежною і незалежною змінними Df - ступінь свободи системи Ssreg - регресійна сума квадратів
Ssresid – залишкова сума квадратів
Аналогічним чином побудуємо експоненційну регресійну залежність при аргументі Константа рівному 0, в діапазоні M54: O58, ввівши формулу =ЛГРФПРИБЛ(P2:P38;N2:O38;0;1):
Експоненціальна залежність |
||
1.003 |
0.99913 |
1 |
0.000244 |
0.000447 |
#Н/Д |
0.969 |
1.429 |
#Н/Д |
542.226 |
35 |
#Н/Д |
2215.263 |
71.496 |
#Н/Д |
2.5.4. Визначення моделі найбільш точно описує фактичні дані.
-
залежність
вид рівняння
R2
Лінійна
0.963
Лінійна
0.998
Експоненціальна
0.940
Експоненціальна
0.969
Моделлю найбільш
точно
описуючою
фактичні
дані є
лінійна
модель виду
,
так як
для неї
коефіцієнт
детермінованості
R2
має найбільше
значення.
2.2.6. Оцінка значущості коефіцієнтів моделі і адекватності моделі. Оцінка якості моделі за критеріями Стьюдента і Фішера буде проводитися шляхом порівняння розрахункових значень з табличними.
Для оцінки якості моделі за критерієм Стьюдента фактичне значення цього критерію (tнабл)
порівнюється з критичним значенням tкр яке береться з таблиці значень t з урахуванням заданого рівня значущості (α = 0.05) і числа ступенів свободи (n - 2). Якщо tнабл > tкр, то отримане значення коефіцієнта парної кореляції визнається значимим
Критичне
значення
при
і
рівне
.
Критерій Стьюдента |
|||
Фактор |
tнабл |
tкр |
значимість |
Х2 |
7.568 |
2.030 |
істотна |
Х5 |
20.913 |
2.030 |
істотна |
Перевіримо значимість коефіцієнта детермінації, використовуючи F критерій Фішера. Обчислимо статистику F за формулою:
де: m = 3 - число параметрів у рівнянні регресії; N = 37 - число спостережень в вибіркової сукупності.
Математичною моделлю
статистичного
розподілу
F-статистики
є розподіл
Фішера з
і
ступенями
свободи.
Критичне
значення цієї
статистики при
і
і
ступенях
свободи
рівне
.
Критерій Фішера |
||
Fрасч |
Fкр |
рівняння регресії |
8916.383 |
3.276 |
адекватно |
Таким чином,
модель
пояснює
99.8% загальної
дисперсії ознаки
Y. Це
вказує на
те, що
підібрана
модель є
адекватною.
2.6. Розрахунок прогнозних значень і суми квадратів відхилень. Введемо в комірку Q2 формулу = $ F $ 54 * N2 + $ E $ 54 * O2 (розрахунок прогнозних значень), потім скопіюємо її в комірки Q3: Q38. У осередок R2 формулу = (P2-Q2) ^ 2 (розрахунок суми квадратів відхилень), потім скопіюємо її в комірки R3: R38, і підрахуємо суму отриманих значень у клітинці R39.
X2 |
X5 |
Y |
y(x) |
(Y - y(x))2 |
605.1 |
2063.2 |
1626.7 |
1589.7 |
1367.523 |
620.1 |
2143.7 |
1602.5 |
1650.5 |
2303.318 |
914 |
2447.7 |
1880.7 |
1914.5 |
1144.709 |
862.1 |
2406.4 |
1982.7 |
1876.9 |
11189.53 |
958.4 |
2592.9 |
2037 |
2026.7 |
106.5821 |
1488.9 |
2698 |
2193.9 |
2180.4 |
182.342 |
1231.5 |
2529.7 |
2152.1 |
2020.4 |
17335.88 |
1429.6 |
2644.9 |
2227 |
2133.1 |
8814.026 |
1679.5 |
2793.7 |
2344.4 |
2277.8 |
4436.216 |
1326.2 |
2669.2 |
2341.7 |
2135.8 |
42415.15 |
1456.8 |
2845 |
2211.9 |
2282.7 |
5014.463 |
2523.6 |
2990.5 |
2629.8 |
2543.9 |
7377.384 |
846 |
2659.8 |
2017.5 |
2059.0 |
1722.637 |
923.8 |
2636.6 |
2009.4 |
2053.4 |
1939.955 |
1173.3 |
2943.1 |
2260 |
2312.8 |
2792.24 |
1156.7 |
2890.9 |
2400.1 |
2272.4 |
16298.85 |
1450.2 |
3051.5 |
2508.1 |
2432.0 |
5784.146 |
1845.2 |
3249 |
2684.1 |
2633.3 |
2581.453 |
1566.4 |
3052.6 |
2736.6 |
2449.8 |
82275.65 |
1729.7 |
3349.7 |
2824.5 |
2689.8 |
18152.31 |
1987.3 |
3456.3 |
2880.2 |
2804.9 |
5676.928 |
1902.7 |
3731.2 |
2812.9 |
2992.6 |
32297.9 |
1839.1 |
3517.8 |
2704.2 |
2828.0 |
15336.69 |
3953.7 |
3823.1 |
3224.2 |
3358.1 |
17922.28 |
1351.2 |
3482.9 |
2584.7 |
2731.6 |
21584.07 |
1185.3 |
3347.6 |
2466.7 |
2609.0 |
20246.66 |
1715.5 |
3585.4 |
2928.3 |
2859.2 |
4768.047 |
1536.4 |
3678.3 |
3036.4 |
2900.8 |
18389.81 |
1823.1 |
3801.6 |
3021.1 |
3032.3 |
124.6986 |
2452.1 |
4002.1 |
3237.6 |
3269.8 |
1034.273 |
2076.6 |
3990.3 |
3247.1 |
3206.5 |
1647.633 |
2129.2 |
4212 |
3436.9 |
3375.5 |
3767.099 |
2502.7 |
4154.2 |
3472.8 |
3387.8 |
7220.377 |
2238.7 |
4322.7 |
3504.1 |
3472.0 |
1028.291 |
2417.6 |
4623.1 |
3357.1 |
3716.7 |
129321.2 |
3838.4 |
4817.9 |
4034.7 |
4065.3 |
937.7363 |
1468.6 |
4632 |
3450.4 |
3585.0 |
18128.14 |
|
|
|
∑ |
532666.2 |