3. Задача условной оптимизации
Рассмотрим необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных в задаче ограничениями типа равенств.
Постановка задачи условной оптимизации имеет вид
.
Уравнения
называются условиями связи.
Функция имеет в точке имеет условный максимум (минимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство
.
Сначала рассмотрим случай двух переменных и одного условия связи
.
Один из методов отыскания условного экстремума состоит в следующем.
Пусть уравнение
однозначно определяет в плоскости
некоторую гладкую кривую
:
.
Подставляя в функцию
вместо
функцию
,
получаем функцию одного аргумента
в которой условие связи уже учтено.
Экстремум (безусловный) функции
будет искомым условным экстремумом.
Пример 1.
.
Из уравнения связи находим
.
Подставляем это выражение в целевую
функции
.
Исследуем эту функцию на экстремум.
.
Поскольку
– минимум. Следовательно, точка
доставляет условный минимум функции
.
Существует другой способ решения задачи об условном экстремуме.
Пусть функция
точка
есть точка условного экстремума функции
при наличии связи
.
Допустим, что уравнение связи определяет
единственную непрерывно дифференцируемую
функцию
в некоторой окрестности точки
.
Считая, что из двух переменных независимой
будет только одна
,
найдем полную производную функции
.
В точке экстремума
эта производная должна быть равна нулю,
что равносильно равенству нулю
дифференциала от
в точке
.
(3)
Из уравнения связи имеем
(4)
Умножая (4) на
некоторый неопределённый пока множитель
и складывая почленно с (3), будем иметь
.
Выберем значение таким образом, чтобы, например, вторая скобка обращалась в нуль
,
при условии
.
Тогда в силу произвольности
получим
.
Таким образом, точка условного экстремума является обязательной стационарной точкой функции
,
(5)
называемой функцией Лагранжа.
Отсюда правило (метод Лагранжа) для отыскания условных экстремумов:
1) Проверяем
неравенство нулю
(условие Якоби);
2) составляем функцию Лагранжа (5);
3) решаем систему трех уравнений
,
(6)
из которой находим
значения
и координаты
возможных точек экстремума.
Вопрос о характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
(7)
для рассматриваемой
точки
,
полученной из (6) при условии, что
удовлетворяют уравнению
.
Если
,
то в точке
функция
имеет условный максимум, если
– условный минимум.
Пусть требуется
исследовать методом Лагранжа функцию
на условный экстремум при условиях
связи
,
(задача (1) – (2)).
Рассмотрим функцию Лагранжа
,
(8)
где
– некоторые константы.
Теорема (необходимое
условие Лагранжа условного экстремума).
Пусть точка
–
точка локального экстремума в задаче
(1) – (2), функция
дифференцируема в точке
и
(линейно независимы). Тогда существуют
числа
при которых выполняются равенства
.
(9)
Пусть в точке
выполнено
необходимое условие Лагранжа условного
экстремума. Рассмотрим квадратную
матрицу порядка
(окаймленную
матрицу Гессе)
,
(10)
– нулевая матрица
порядка
,
,
.
Теорема (достаточное
условие условного экстремума).
Пусть функции
и
дважды дифференцируемы
в точке
и пусть
(линейно независимы), существуют числа
такие, что для функции Лагранжа (8)
выполняются условия стационарности
(9). Тогда
1) если знаки угловых
миноров
,
,
. . .,
матрицы (10) совпадают со знаком числа
,
то точка
является точкой условного минимума
функции
при условиях связи
;
2) если знаки угловых
миноров
,
,
. . .,
матрицы (10) чередуются, причём знак
минора
совпадает со знаком числа
,
то точка
является точкой условного максимума
функции
при условиях связи
;
В частности, для двух переменных и одного ограничения:
стационарная точка
является точкой максимума, если
;
стационарная точка
является точкой минимума, если
.
Пример 1.
.
Проверяем условие Якоби
,
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
.
Составляем систему для отыскания стационарных точек
и
.
Составляем окаймленную матрицу Гессе
.
Вычисляем
.
Следовательно,
точка
доставляет условный минимум функции
,
.
Пример 2.
Найти экстремум
функции
при условии, что
.
Проверяем условие Якоби
,
Точка
не удовлетворяет условиям связи,
следовательно, методом Лагранжа можно
пользоваться без ограничений.
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
.
Составляем систему для отыскания стационарных точек
и
,
и
.
Составляем окаймленную матрицу Гессе
.
Вычисляем
,
с учетом условия
,
.
В точке при
,
следовательно, в
этой точке условный min
и
.
В точке
при
,
следовательно, в
это точке условный max
.
Пример 3.
Найти экстремум
функции
при условии, что
.
В данном случае
и
будет равен нулю только при
,
что противоречит условию связи.
Запишем функцию Лагранжа
.
Необходимые условия существования экстремума будут иметь вид
.
Решая эту систему,
получим
.
Есть только одна точка возможного
условного экстремума
.
Окаймленная матрица
Гессе в этой точке будет иметь вид
.
В нашем случае
,
,
следовательно, нужно исследовать знаки
угловых миноров
и
.
Имеем:
,
.
Поскольку знаки
и
совпадают со знаком
,
то согласно достаточному условию в
точке
имеем условный минимум и значение
функции в этой точке
.