§2. Свойства рядов

1 свойство: Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2 свойство: Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C  0)

3 свойство: Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

Пусть сумма сходящего числового ряда равна S.

4 свойство: Если в ряде (1) отбросить n членов, то получим ряд , который называется n-ым остатком ряда и обозначается . Разность между суммой ряда S и его частичной суммой называется остатком ряда и обозначается = S - .Если ряд сходится, то остаток равен 0.

§3. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда Необходимые признаки сходимости ряда

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда u_n .

Будем считать, что все слагаемые – это неотрицательные числа. То есть далее, речь пойдет о положительных числовых рядах.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

! Как правило, расходятся такие ряды, когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Очевидно, и расходимость таких рядов у которых каждый последующий член ряда постоянно возрастает, например ряды , расходятся. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

П очему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится. Или так: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно.

Рассмотрим следующий ряд: .

– ряд называется гармоническим рядом. Запомните! В теории рядов гармонический ряд является чуть ли не «аксиомой».

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

Существуют также «эталонный ряд», который является обобщением гармонического ряда или общегармоническим:

. 1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды

, ,

2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды

, , .

Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки.