3.5. Ергодичні випадкові процеси.
Поряд
з розглянутим
способом осереднення реалізацій
випадкового процесу
за
ансамблем у фіксовані моменти часу
,
існує спосіб опису властивостей
випадкового процесу шляхом осереднення
за часом окремих вибіркових функцій
ансамблю. Наприклад,
для
-
ої вибіркової функції випадкового
процесу
,
що зображено на рис. 3.3, середнє значення
і автокореляційна функція
визначаються
наступними виразами
(3.4)
(3.5)
Якщо
випадковий процес
стаціонарний
і параметри
та
,
що визначені
співвідношеннями (3.4) і (3.5) однакові для
різних вибіркових реалізацій, то
випадковий процес
називається ергодичним.
Для ергодичного випадкового процесу
середнє значення і автокореляційна
функція (а також і інші моменти, що
одержані осередненням за часом) рівні
відповідним середнім за ансамблем
та
.
Слід зазначити, що тільки стаціонарні
процеси можуть володіти властивостями
ергодичності.
Ергодичні випадкові процеси складають дуже важливий клас випадкових процесів. На практиці виконання умови ергодичності надає можливість уникнути повторення великої кількості експериментів для визначення статистичних характеристик досліджуваного випадкового процесу , оскільки для цього вистачить виміру однієї єдиної вибіркової реалізації.
3.6. Основні імовірнісні характеристики випадкових процесів.
Досліджувані випадкові процеси описуються числовими та функціональними характеристиками. Вони дають повне уявлення про властивості досліджуваних випадкових процесів. В подальшому обмежимося розглядом цих характеристик тільки для одновимірного випадку.
До числових характеристик зазвичай відносять середнє значення (математичне сподівання) та дисперсію випадкових процесів. У багатьох практичних задачах, для випадку, коли розподіл досліджуваного процесу є нормальним (гаусовим) знання цих числових характеристик виявляється достатнім для повного вирішення сформульованої задачі.
В якості функціональних характеристик для опису випадкових процесів використовуються наступні:
коваріаційна функція;
кореляційна функція;
спектральна щільність потужності;
функція розподілу ймовірностей;
щільність розподілу ймовірностей;
характеристична функція розподілу ймовірностей;
Дисперсія процесу дає елементарне уявлення про інтенсивність випадкового процесу. Автокореляційна функція і спектральна щільність дають аналогічну інформацію про випадковий процес у часовій та частотній областях відповідно. Формально функція спектральної щільності стаціонарного процесу не містить додаткової інформації у порівнянні з автокореляційною функцією, оскільки ці функції зв’язані взаємним перетворенням Фур’є. Однак вони дають інформацію різного типу, причому для вирішення тієї або іншої задачі отримання інформації одного з типів може бути більш бажаним.
Функція та щільність розподілу характеризують розподіл ймовірностей досліджуваного процесу у фіксованих точках. Ці функції являють собою повні ймовірнісні характеристики випадкового процесу. Характеристична функція також повністю (в ймовірнісному сенсі) задає випадковий процес, але в цьому випадку використовується комплексна область.
Коротко зупинимось на розгляді цих питань.