22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.

М атематический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой m подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной L. В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси O

ma=-mg sinx, x-угол

s=xL

,

При x<<1:

Полож. k=1 ,

Положение равновес.: (πk, 0), kϵ

1. k=2n, ,

в т. (2πn, 0) , λ_1,2=

2. б) k=21n, ,

в т. (2π(n+1), 0) , λ_1,2=

Перв.интеграл(закон сохранения энергии):

,

,

23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.

1)Линейные однородные уравнения.

Где - заданные функции-коэф.уравнения, - искомая функция, ϵℝ²

Любое решение ур-ния (1) является 1ым интегралом системы =

Теорема:⊐ т.е. не является положением равновесия системы, тогда в некоторой окрестности U все решения ур-ния (1) задаются ф-ей U =F(U₁ ,... U_n-1 ), где U₁ ,... U_n-1 зависимые первые интегралы системы(2), F-гладкая ф-ия.

Система (2) называется системой ур-ний характеристик, а её решения характеристиками сист (1). Систему (2) можно записать в симметрической ф-ме: , т.е.

Пример: , система хар-к ; xdx+ydy=0, d(x²+y²)=0, x²+y²=const, U₁=x²+y²

Общее решение УЧП:

2)Квазилинейные (неоднородные) уравнения

Предположение: ф-ии -непрерывно диф-я в нек-ой области и ( , в области

Система хар-к :

Теорема: если V₁ ,... V_n-1 зависимые первые интегралы системы(5), то общее решение ур-ния (4) представляется в виде (неявно)