14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.

Решение неоднородной системы: ,

для функции специального вида укажем в каком виде нужно искать частное решение.

1. 

1. – не является корнем характеристического уравнения. , где – постоянный (неопределенный столбец).

2. – корень характеристического уравнения кратности s. , где – столбец, элементы которого многочлены степени sс неопределенными коэффициентами.

2. , где –корень характеристического уравнения кратности s, – столбец, элементы которого многочлены и m – maxстепень.

III. Автономные систему оду

1. Определение: (1)

Предположение: функции удовлетворяют условию теоремы о единственности в некоторой области , т. е. непрерывны и дифференцируемы в т. x.

Замечание: неавтономная система превращается в автономную, если положить , т.е.

16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.

Пусть - решение интеграла (1). В это решение задает кривую , - параметр кривой, называемой фазовой траекторией системы (1), при этом пространство - фазовое пространство системы(1).

Фазовая траектория получается проектированием на (вдоль оси t)интегральной кривой, лежащей в .

Свойства фазовых траекторий

1) Если - также решение. Фазовые траектории соответствующие этим решениям совпадают.

Док-во: , т.е. ч.т.д.

2) Любые две фазовые траектории системы (1) либо не имеют общих точек либо совпадают.

Док-во: Пусть - решения системы (1). Пусть соответственно имеют общую точку , т.е. .

Рассмотрим решение .при t= имеем . По Теореме о Фазовые траектории . и реш. совпадают по св-ву 1.

Определение: точка называется положением равновесия системы (1) если .

3) Если - положение равновесия сестемы (1), то - стационарное решение системы (1). Соответственно фазовая траектория состоит из одной точки то

4) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из следующих 3х типов:

1. гладкая кривая без самопересечений

2. замкнутая гладкая кривая(цикл)

3. точка положения равновесия.

17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.

Функция называется первым интегралом системы (1), если на любом решении системы(1) она постоянна, т.е (2)

Пример: П.И:

Iспособ:

IIспособ:

Критерий первого интеграла: пусть - некоторая функция(гладкая). , тогда

Выражение (3) называется производной функцией в силу системы (1)

Теорема: функция является первым интегралом системы (1), тогда и только тогда когда она удовлетворяет условию (4)

Док-во: 1) если (4) выполнено в Х, то оно выполнено и в точках любой траектории для любого решения правая часть (3) => левая часть (3)) , т.е. , т.е. - первый интеграл системы (1).

2) Пусть - первый интеграл системы (1). По теореме о существовании единственности: .

т.к. =const, то и в силу (3)

Теорема (о независимых первых интегралах) пусть непрерывно дифференцируемые функции в . Эти функции называются зависимыми в области Х, если одну из них можно выразить из остальных.

Теорема: пусть точка не является положением равновесия системы (1), тогда в некоторой окрестности ( )система (1) имеет n-1 независимых первых интегралов и всякий п.и. этой системы представляется в виде , где F - некоторая гладкая функция.