Признаки сходимости числовых знакоположительных рядов

Числовой ряд с положительными членами называется числовым знакоположительным рядом.

Рассмотрим числовые ряды

(2)

и

. (3)

Первый признак сравнения. Если при для рядов (2) и (3) выполнено условие и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2). Если же ряд (3) расходится, то расходится и ряд (3).

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды (2) и (3) сходятся и расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Если для ряда (2) существует предел , то при ряд (2) сходится, а при расходится.

Признак Коши. Если для ряда (2) существует предел , то при ряд (2) сходится, а при расходится.

Если пределы в признаках Коши и Даламбера равны единице, то необходимо дополнительное исследование сходимости.

Интегральный признак Коши-Маклорена. Если члены ряда (2) не возрастают ( ) и существует неотрицательная невозрастающая функция при , то ряд (2) сходится или расходится вместе с интегралом .

Для того, чтобы исследовать на сходимость ряд , где – многочлены степени и соответственно, нужно составить обобщенный гармонический ряд . При этом целесообразно применять второй признак сравнения.

Признаки сходимости числовых знакочередующихся рядов

Числовой ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е.

, (4)

в котором называется знакочередующимся рядом. В случае, если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (4), т.е. ряд , то ряд (4) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (4) сходится, а расходится, то ряд (4) называется сходящимся условно.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (4) сходится, если выполняются условия:

1) ,

2) .

Степенные ряды

Степенным рядом называется выражение вида

, (5)

где – постоянные, называемые коэффициентами ряда.

Если , то степенной ряд принимает вид

(6)

Радиусом сходимости ряда (6) называется величина (число) такая, что при всех ряд сходится, а при всех расходится. Интервал в этом случае называется интервалом сходимости ряда (6). На концах интервала сходимости ряд может как сходится, так и расходится (это нужно исследовать).

Если ряд (6) сходится на всей числовой оси, то , если он сходится только для , то .

Если при ряд (5) сходится, а при всех расходится, то – радиус сходимости, а интервал – интервал сходимости.

Радиус сходимости можно вычислять по одной из формул:

или .

Задача 5. Найти интервалы сходимости следующих степенных рядов:

а) ; б) ; в)

и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.

Решение. а) Воспользуемся признаком Даламбера. Так как признак Даламбера применим для рядов с положительными членами, то будем исследовать ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Ряд сходится, если , т. е. если , . Значит, радиус сходимости ; интервал сходимости: .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала, т.е. в точках .

В точке исходный ряд имеет вид . Это числовой, знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) . Они выполняются. Исследуем сходимость соответствующего знакоположительного ряда . Подберем обобщенный гармонический ряд . Этот ряд расходящийся. По предельному признаку сравнения . Значит ряд также расходится. Таким образом, ряд сходится условно.

При исходный ряд имеет вид . Это числовой, знакоположительный ряд. Как показано выше он расходится.

Таким образом, радиус сходимости ряда ; интервал сходимости: .

б). Применим признак Коши: , . Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках . При исходный ряд имеет вид . Это расходящийся ряд, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

При исходный ряд имеет вид . Это расходящийся ряд, поскольку не выполняется второе условие признака Лейбница, т.е. .

Ответ: радиус сходимости: ; интервал сходимости: .

в) Применим признак Даламбера: , тогда . Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках . При исходный ряд имеет вид . Это ряд, сходящийся условно, поскольку выполняются условия признака Лейбница, но расходится ряд составленный из абсолютных величин ряда .

При исходный ряд имеет вид . Это расходящийся гармонический ряд.

Ответ: радиус сходимости: ; интервал сходимости .

Замечание. Степенной ряд может как сходиться, так и расходиться на концах интервала сходимости. В этих граничных точках требуется дополнительное исследование. При исследовании степенных рядов на концах интервала сходимости можно придти к рядам вида:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) , е) .

Решение. а) Это числовой знакоположительный ряд. Общий член ряда . Вычислим предел . Так как необходимый признак сходимости ряда не выполняется, то ряд расходится.

б) Это числовой знакоположительный ряд. Применим признак Даламбера. Так как , , то . По признаку Даламбера ряд сходится.

в) Это числовой знакоположительный ряд. Применим признак Коши. Имеем: , . Следовательно, , поэтому ряд сходится.

г) Это числовой знакоположительный ряд. Применим интегральный признак Коши. Члены данного ряда положительны и убывают, поэтому в качестве функции , о которой идет речь в интегральном признаке, возьмем функцию , , т.к. . Т.к. = , т.е. интеграл сходится, а поэтому и данный ряд сходится.

д) Это числовой знакоположительный ряд. Применим предельный признак сравнения. Т.к. степень числителя равна 2, а степень знаменателя равна 4, то составим обобщенный гармонический ряд .

Поскольку , то подобранный ряд сходится. Сравним его с исходным рядом

.

Значит, исходный ряд также сходится.

е) Это числовой знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница 1) ; 2) . Они выполняются. Исследуем сходимость соответствующего знакоположительного ряда . Подберем обобщенный гармонический ряд . Этот ряд расходящийся. По предельному признаку сравнения . Значит ряд также расходится. Таким образом, ряд сходится условно.

Задача 6. Разложить в ряды Фурье следующие функции:

а) на интервале ;

б) на интервале .

Решение. а) Определим коэффициенты Фурье:

;

;

, так как функция четная.

Итак, .

Если продолжить эту функцию на всю числовую ось, исходя из свойства периодичности, то получим непрерывную функцию, для которой это равенство выполняется для всех .

Ответ: , .

б) Определим коэффициенты Фурье:

;

.

Таким образом, .

Заметим, что если продолжить эту функцию на всю числовую ось, исходя из свойства периодичности, то получим разрывную функцию. В точках разрыва , сумма ряда равна среднему арифметическому пределов полученной функции слева и справа, т.е. числу .

Ответ: .