Контрольная работа № 3

Дифференциальные уравнения и системы

Операционное исчисление. Ряды

Требования к оформлению контрольных работ

В контрольную работу включены шесть заданий по темам:

– дифференциальные уравнения и системы;

– операционное исчисление;

– ряды.

Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента.

При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:

1. на титульном листе указать номер варианта;

2. контрольные работы оформлять, оставляя поля для замечаний преподавателя;

3. условия задач необходимо записывать полностью. Если задание имеет общую формулировку, его условие необходимо переписать, подставляя числовые значения, соответствующие номеру варианта;

4. решения заданий оформлять аккуратно, приводить достаточное количество пояснений, делать необходимые рисунки.

Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен до зачета или экзамена.

Решение типового варианта

Задача 1. а) Найти общее решение дифференциального уравнения ,

б) найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. а) Из данного уравнения находим :

.

Исходное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка. Решаем его с помощью подстановки . Находим:

, , , , , .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, , , , , т. е. нашли общий интеграл исходного уравнения.

б) преобразуем уравнение для того, чтобы определить его тип. Получим

.

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью подстановки . Тогда

, , . (1)

Находим из условия , которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: , , ,

, .

Полученное выражение для подставляем в уравнение (1):

, , , ,

= = = =

= =

Следовательно, ,

.

Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяется формулой

.

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет мнимые корни: . Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется формулой . Рассмотрим правую часть уравнения . Она имеет вид , где . Частное решение ищем в виде , где – полином той же степени, что и , но в общем виде, означает, сколько раз число встретилось среди корней характеристиче5ского уравнения. В нашем случае . Находим

, .

Подставим выражение , в исходное уравнение и из полученного тождества, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,

,

найдём . Тогда . Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Задача 3. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Дифференцируем первое уравнение данной системы. Получаем: . Затем заменяем в последнем уравнении его выражением из второго уравнения данной системы: . В последующем уравнении заменяем выражением , найденным из первого уравнения системы. В итоге приходим к дифференциальному уравнению второго порядка относительно неизвестной функции : , . Решаем последнее уравнение:

, , .

Отсюда находим .

Подставляя полученные выражения для и в , имеем:

.

Следовательно, искомым решением являются функции:

, .

Задача 3. Решить операторным методом дифференциальное уравнение

.

Решение. Т.к. и по условию , то операторное уравнение имеет вид , и, значит, операторное решение . Разложим правую часть на элементарные дроби . Переходя к оригиналам, получим решение в виде .

Ряды

Числовым рядом называется выражение

, (1)

где – числовая последовательность.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Следствие. Если общий член ряда (1) не стремится к нулю, то ряд (1) расходится.

Простейшие ряды:

1. Сумма геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. Этот ряд сходится, если . Если , то данный ряд расходится.

2. Обобщенный гармонический ряд . Этот ряд сходится, если и расходится, если . При получаем ряд , который называется гармоническим.