4. Определение подмножества.

Предикат subset определяет, является ли множество подмножеством другого множества. Множество X является подмножеством множества Y, если все элементы X, принадлежат множеству Y.

Предикат subset(X,Y) истинен, если множество X является подмножеством Y. Схема отношения этого предиката имеет вид:

subset(<список>,<список>).

Декларативное описание предиката subset(X,Y)формулируется следующим образом.

• Пустое множество является подмножеством любого множества.

• Список, определяющий первое множество Х можно разделить на голову Н и хвост Xs. Множество X есть подмножество Y, если голова первого списка Н принадлежит второму списку Y и Xs есть подмножество множества Y.

Процедура subset(X,Y) состоит из двух правил:

subset([],Y). subset([H|Xs],Y):-member(H,Y),subset(Xs,Y).

Рассмотрим пример запроса к процедуре subset.

Процедура subset выполняется следующим образом:

?  subset([a,b,c],[d,a,b,c,f]).

ТР: subset([a,b,c],[d,a,b,c,f]).

Шаг 1: ТЦ: subset([a,b,c], [d,a,b,c,f]).

Пр1: [a,b,c] =[]  неуспех (списки разной длины)

Пр2: subset([a|[b,c]],[d,a,b,c,f]):-member(a,[d,a,b,f])subset([b,c], [d,a,b,c,f]).

ТР: member(a,[d,a,b,c,f])),subset([b,c],[d,a,b,c,f]).

Шаг 2: ТЦ: member(a,[d,a,b,c,f]) успех⁵

ТР: subset([b,c],[d,a,b,c,f]).

Шаг 3: ТЦ: subset([b,c],[d,a,b,c,f]).

Пр1: [b,c] =[]  неуспех (списки разной длины)

Пр2: subset([b|[c]],[d,a,b,c,f]):-member(b,[d,a,b,c,f]))subset([c],[d,a,b,c,f]).

ТР: member(b,[d,a,b,c,f])),subset([c],[d,b,a,c,f]).

Шаг 4: ТЦ: member(b,[d,a,b,c,f])  успех

ТР: subset([c],[ d,a,b,f],Z).

Шаг 5: ТЦ: subset([c],[ d,a,b,c,f ]).

Пр1: [c] =[]  неуспех (списки разной длины)

Пр2: subset([c|[]],[d,a,b,f],[c|Z1]):-member(c,[d,a,b,c,f])),subset([],[d,a,b,c,f]).

ТР: member(c,[d,a,b,c,f])),subset([],[d,a,b,c,f ]).

Шаг 6: ТЦ: member(с,[d,a,b,f,c])  успех

Шаг 7: ТЦ: subset([],[d,a,b,f ] ).

Пр1: [] =[]  успех.

Выход из рекурсии на шаг 5.

Выход из рекурсии на шаг 3.

Выход из рекурсии на шаг 1.

ТР:  успех.

Результат вычисления запроса  успех.

5.5.6. Декартово произведение множеств.

Предикат dek определяет операцию декартова произведения двух множеств. Декартовым произведением двух множеств X={x_i} и Y={y_i} является множество Z, состоящее из пар элементов [x_i, y_i], где x_i принадлежат множеству X, а y_i принадлежат множеству Y.

Предикат dek(X,Y,Z) истинен, если множество Z является декартовым произведением множеств X и Y. Схема отношения того предиката имеет вид:

dek(<список>,<список>,<список>).

В процедуре dek используются дополнительные предикаты pro и append⁶. Предикат pro(X,Y,Z)истинен, если X есть терм, Y={Y_i}множество термов, а Z является множество пар вида [X, Y_i], где X есть заданный терм, а Y_i соответствующий элемент множества Y. Схема отношения предиката pro имеет вид:

pro(<терм>,<список>,<список>).

Декларативное определение предиката pro(X,Y,Z) формулируется следующим образом.

• Список Y состоит из одного элемента. Тогда список Z является списком пар вида [X, Y_i].

• Список, определяющий множество Y можно разделить на голову Н и хвост T. Тогда список Z=[[X,H]|T1], если список список T1 есть результат процедуры pro(X,T,T1].

Декларативное описание предиката dek(X,Y,Z) формулируется следующим образом:

• Список X состоит из одного элемента. Тогда список Z является результатом процедуры pro(X,Y,Z1.

• Список, определяющий первое множество Х можно разделить на голову X и хвост T1. Если pro(X,Y,T2) и dek(T1,Y,T3) и append(T2,T3,Z) истинны, то Z есть декартово произведение списков X и Y.

Процедура pro(X,Y,Z) состоит из двух правил:

pro(X,[Y],[[X,Y]|[]]). pro(X,[H|T], [[X,H]|T1]):-pro(X,T,T1).

Процедура dek(X,Y,Z) состоит из двух правил:

dek([X|[]],Y,Z):pro(X,Y,Z). dek([X|T1],Y,Z):-pro(X,Y,T2), dek(T1,Y,T3),

append(T2,T3,Z).

Пример запроса к процедуре pro.

?  pro(4,[1,2,3],Z).

Z=[4,2],[4,3],[4,3]]

Yes

Пример запроса к процедуре dek.

?  dek([4,2][3,5,8],Z).

Z=[[4,3],[4,5],[4,8], [2,3],[2,5],[2,8]]

Yes