Ряды «эталоны»
1. Ряд Дирихле
(обобщенный гармонический ряд)
-
2. Геометрическая прогрессия
,
.
П
ризнак
Даламбера. Пусть задан знакоположительный
ряд
.
Тогда if
,
то
Р
адикальный
признак Коши. Пусть задан
знакоположительный ряд
.
Тогда if
,
то
Интегральный признак Коши. Пусть
для знакоположительного ряда
$ положительная,
непрерывная и монотонно убывающая на
промежутке
функция
такая, что
.
Тогда ряд
и
сходятся или расходятся одновременно.
Знакопеременные ряды
Пусть задан знакопеременный ряд
(1), где an
– числа произвольного знака. Тогда,
если ряд
(2) сходится, то сходится и данный ряд,
при этом он называется абсолютно
сходящимся. Если ряд (2) расходится,
а данный ряд (1) сходится, то он называется
условно сходящимся.
Признак Лейбница. Пусть дан
знакочередующийся ряд
.
Тогда, if выполняются
условия:
,
то данный ряд сходится и его сумма
.
Степенные ряды
или
,
if
.
(-R, R) – интервал сходимости, при х=-R и х=R ряд исследуется дополнительно.
Ряд Фурье
,
,
,
.
Если 2 - периодическая функция f(х) кусочно-монотонная и ограниченная, то ряд справа сходится, именно, к этой функции f(х).
Если f(х) – четная
функция, то она раскладывается в ряд
Фурье только по косинусам, при этом
,
,
;
если f(х) – нечетная
функция, то она раскладывается только
по синусам, при этом
,
,
.
Если
– периодическая функция f(х)
задана на
,
то ряд Фурье имеет вид:
,
где
,
,
.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
Рассмотрим числовую последовательность
Определение 10.1.1. Бесконечная сумма
называется числовым
рядом. Числа
называются членами
ряда, а
число an
– n-м
членом или общим членом ряда.
Кратко числовой
ряд обозначается символом
.
Определение 10.1.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда
.
Рассмотрим
последовательность частичных сумм
,
где
,
,
…………..
,
,
………………………..
Определение
10.1.3. Числовой
ряд называется сходящимся,
если последовательность частичных
сумм
сходится к некоторому числу S,
которое называется суммой
этого ряда.
Итак, по определению,
ряд сходится к сумме S,
если
.
В этом случае пишут
.
Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Пример 10.1.1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
Сумма ее n первых членов равна
.
Если
,
то
при n
и, следовательно,
.
Значит, в случае
ряд сходится
и его сумма
.
Если
,
то
при n
и тогда
при n
.
Таким образом, при
ряд
расходится.Если
,
то ряд имеет
вид
,
в этом случае
и
,
т.е. ряд расходится.
Если
,
то ряд имеет
вид
В этом случае
и предела не имеет
ряд расходится.
Таким образом,
ряд , составленный из членов геометрической
прогрессии, сходится, если
,
и расходится при
.
Пример 10.1.2. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Общий
член этого ряда раскладывается на
простейшие дроби следующим образом:
.
Тогда
.
Так как
,
то искомый ряд сходится и его сумма
S=1.
Суммой
двух рядов
и
называется ряд
.
Произведением
ряда
на действительное число
называется ряд 
.
Пусть ряд
сходится к сумме S.
Перепишем равенство
в виде
и обозначим
Это выражение, представляющее собой
новый ряд, называется остатком
ряда .
Таким образом, для сходящегося ряда
имеет равенство
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема
10.1.1. Для
того, чтобы ряд
сходился необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство теоремы вытекает из определения суммы ряда и равенства .