9.7. Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида

,

где и - непрерывные функции от х (или постоянные), а n  0 и n  1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделив обе части уравнения на , получим

, или .

Сделаем, далее, замену .

Умножим обе части уравнения на .



,

т.е. получили линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдя его общий интеграл и подставив , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Пример 9.7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Предполагая х  0, разделим обе части дифференциального уравнения на х, тогда является уравнением Бернулли, где . Умножим обе части уравнения на , в результате имеем .

Сделаем подстановку  . Умножая обе части последнего дифференциального уравнения на , получим , , а это уже линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдем его общее решение по формуле , взяв , f(x) = x.

.

Так как , то  – искомое общее решение.

Замечание. Дифференциальное уравнение можно сразу решать методом Бернулли или Лагранжа, не сводя его к линейному.

Пример 9.7.2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли. Решение будет искать в виде  . Исходное уравнение принимает вид

 .

Выберем функцию v(x) таким образом, чтобы . В результате получаем систему:

Решим первое уравнение системы     . Тогда второе уравнение системы принимает вид       . Итак, , т.е. будет общим решением исходного уравнения.

9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Напомним, что полным дифференциалом функции двух переменных называется выражение

.

Уравнение

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е. . В этом случае уравнение можно записать в виде , откуда следует, что соотношение

является его общим интегралом.

Теорема 9.8.1. Пусть и – функции, непрерывные в некоторой односвязной (не имеющей «дырок» внутри себя) области D плоскости XOY и имеющие в ней непрерывные частные производные и . Тогда, для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие:

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

. Отсюда

.

Дифференцируя первое из этих равенств по y, а второе – по x, получим , , откуда по теореме о равенстве смешанных производных получаем .

Достаточность. Покажем, что при выполнении условия выражение есть полный дифференциал некоторой функции .

Из соотношения находим

,

где x₀ – абсцисса любой точки из области существования решения.

При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от y. Подберем так, чтобы выполнялось второе из соотношений . Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по y и результат приравняем :

.

Но, так как , то , т.е.

, или .

Следовательно, , или .

Таким образом, функция будет иметь вид

,

где точка – точка, в окрестности которой существует решение уравнения .

Если при построении функции брать за исходное второе из равенств , то получим, что

.

В формулах и нижние пределы интегрирования нужно выбирать так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор и во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Напомним, что общим интегралом уравнения будет (произвольные постоянные С₁ или С₂ можно включить в постоянную С).

Пример 9.8.1. Решить уравнение .

Решение. Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Пусть , , тогда ; . Условие при y  0 выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции . Найдем эту функцию.

Так как , то , где – не определенная пока функция от y.

Дифференцируя это соотношение по y и учитывая, что , получаем   . Следовательно .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения

.

Замечание. Неизвестную функцию можно сразу находить по одной из формул или .

Пример 9.8.2. Дано уравнение .

Решение. Условие выполнено. Применим формулу , положив , . Получим   – общий интеграл. Нельзя полагать , так как y = 0 не принадлежит области определения коэффициентов.

Если , то уравнение уже не является уравнением в полных дифференциалах. Его можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением обеих частей на подходящим образом подобранную функцию , которая называется интегрирующим множителем. В некоторых частных случаях интегрирующий множитель можно найти. Более подробно этот вопрос можно найти в любом учебнике, содержащем дифференциальные уравнения.