Графическая схема модуля

Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»

1. или - уравнения с разделяющимися переменными. Решаются путём разделения переменных и интегрированием. Уравнение вида подстановкой сводится к дифференциальному уравнению (ДУ) с разделяющимися переменными.

2. ДУ называется однородным, if – однородная функция нулевого порядка . Сводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены , . Уравнение вида заменой , сводится либо к однородному ДУ (когда ), либо к уравнению с разделяющимися переменными (если ).

3. – линейное ДУ I порядка;

– ДУ Бернулли.

Общее решение может быть получено с помощью подстановки , .

4. ДУ называется уравнением в полных дифференциалах, если , что . Необходимое и достаточное условие . Общий интеграл , можно найти по одной из формул: , .

- любая точка из области -я решения, чаще всего М₀(0, 0).

5. Уравнения, допускающие понижение порядка

1. . Решается n-кратным интегрированием.

2. — уравнения, явно не содержащие искомой функции y(x). Полагая , , получим ДУ I порядка .

3. — уравнение, не содержащее явно : полагая , , получим ДУ I порядка .

6. ДУ называется линейным однородным ДУ II порядка с постоянными коэффициентами

– структура общего решения, где

– линейно независимые решения, которые находятся, исходя из корней характеристического уравнения : (1)

if D > 0, – корни (1), то ;

if D = 0, - корни (1), то ;

if D < 0, - корни (1), то .

7. ДУ называется линейным неоднородным ДУ II порядка с постоянными коэффициентами, – структура общего решения, где у_одн – общее решение соответствующего однородного ДУ; у_ч – частное решение неоднородного ДУ.

If функция имеет специальный вид:

а) , где — многочлен степени , то

1. ,

if ;

2. ,

if или ;

3. ,

if .

б) , то

1. ,

if ,

2. ,

if

8. Если известно общее решение линейного однородного ДУ , то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных: . - система для нахождения , , а затем путем интегрирования и .

9. Системы ДУ. Могут решаться методом исключения неизвестных, т.е. приведением к ДУ высших порядков.

Линейная однородная система с постоянными коэффициентами может также решаться составлением характеристического уравнения , нахождением его корней и соответствующих собственных векторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи механики, физики, астрономии и других естественных наук, а также многие проблемы техники. Поясним на примерах, как возникают в исследованиях дифференциальные уравнения.

З адача 9.1.1. Найти уравнение кривой линии, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть M(x, y) точка касания. Так как равен тангенсу угла наклона к оси OX касательной, проведенной в точке кривой, то уравнение касательной будет следующим

.

Положим X = 0, тогда

и точка В имеет координаты . По условию точка касания делит отрезок АВ пополам, поэтому , . Последнее равенство принимает вид:

.

Соотношение является примером дифференциального уравнения. Оно содержит наряду с неизвестной функцией y и ее производную .

Функцию y = y(x)  0 из уравнения легко найти:

,

где С – произвольная константа (постоянная интегрирования), удобно ее взять в виде ln C. Тогда

.

Заметим, что уравнению удовлетворяет целое семейство кривых , зависящих от параметра С. Чтобы выделить какую-то одну кривую из семейства , надо указать константу С. Для этого достаточно задать на плоскости XOY точку (x₀, y₀), через которую эта кривая проходит. Тогда постоянную С, соответствующую этой кривой, найдем, положив в равенстве y = y₀ при x = x₀. Пусть y = 2 при x = 1, тогда

.

Таким образом, искомая кривая семейства , проходящая через точку (1, 2), определяется равенством

.

Задача 9.1.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Определить закон движения, предполагая, что тело движется только под влиянием силы тяжести.

Решение. Под влиянием силы тяжести тело движется с постоянным ускорением g. Ввиду того, что ускорение выражается производной второго порядка от пути по времени, из

.

Получили дифференциальное уравнение, содержащее производную 2-го порядка.

Интегрируя дважды, получим

,

.

Постоянные С₁ и С₂ определим из начальных условий.

Так как отсчет пути ведется от начального момента, то при t = 0

S = 0 и, следовательно, С₂ = 0.

Так как при t = 0 начальная скорость , то из уравнения получаем C₁ = v₀.

Итак, зависимость пройденного телом пути S от времени t:

.

Задача 9.1.3. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна А₀. Найти стоимость оборудования по истечении Т лет.

Решение. Пусть A = A(t)  стоимость оборудования в любой момент времени t. Тогда - скорость обесценивания оборудования вследствие его износа. Из условия задачи следует, что

,

где k – коэффициент пропорциональности, взятый со знаком минус, так как стоимость убывает.

Из следует   . Потенцируя, получаем:

.

Начальное условие: при t = 0 А = А₀, поэтому , C = A₀. Подставляя C = A₀ в , получаем

.

Чтобы найти стоимость оборудования по истечении Т лет, подставляем в t = Т.

.

Как показано в рассмотренных примерах, если мы сумеем проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, то тем самым дадим ответы на вопросы задачи, которая привела нас к нему.

Поэтому основной задачей теории интегрирования дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

Заметим, что задачу интегрирования дифференциального уравнения можно понимать по-разному. В самой узкой постановке задачи ставится целью выражение искомых функций через элементарные функции. Эта задача, вообще говоря, не разрешима даже для самого простого уравнения , ибо, как известно, не всегда первообразная для элементарной функции представляет собой тоже элементарную функцию. В качестве примера можно взять уравнение

.

Несколько шире постановка задачи, при которой уравнение считается разрешенным, если оно приведено к квадратурам (т.е., к операциям взятия неопределенных интегралов). В этом смысле уравнение , очевидно, разрешимо. Все решения этого уравнения содержатся в формуле

.

Однако следует отметить, что уравнения, интегрируемые в квадратурах, составляют лишь незначительную часть всех дифференциальных уравнений. Так, например, очень важное во многих приложениях уравнение Бесселя

в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду любого заданного дифференциального уравнения, независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или в квадратурах.