9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

,

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения надо найти два его линейно независимые частные решения.

Будем искать частные решения в виде

, где ;

тогда , . Подставим , , в .

 . Так как , то

.

Если k будет удовлетворять уравнению , то будет решением уравнения . Уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнению .

В зависимости от дискриминанта приведенного квадратного уравнения рассмотрим три случая.

1. Корни характеристического уравнения действительны и различны : , . В этом случае частными решениями будут функции и , причем они линейно независимы, так как

при .

Следовательно, общее решение

.

Пример 9.16.1. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид  , . Тогда – общее решение.

2. Корни характеристического уравнения действительны и равны : .

Одно частное решение . Будем искать второе частное решение в виде , где – неизвестная функция, подлежащая определению.

Дифференцируя, находим

,

.

Подставляя , , в , получим

.

Так как k₁ – корень , то . Кроме того, = , так как дискриминант . Из   .

Таким образом, от уравнения остается   . Так как мы ищем частное решение , то можно положить , , т.е. . Итак, . Это решение линейно независимо с первым, так как

.

Поэтому общим решением будет функция

, или .

Пример 9.16.2. Дано уравнение .

Решение. Запишем характеристическое уравнение , , , т.е . (В данном случае в левой части мы имеем полный квадрат   , ; , ). Общим решением будет функция .

3. Корни характеристического уравнения комплексные .

Из известной формулы решения приведенного характеристического уравнения получаем

.

Пусть действительная часть , а мнимая , тогда

,

и частные решения можно записать в виде

, .

Это комплексные функции действительного аргумента и они нас не очень-то устраивают.

Докажем, что если функция удовлетворяет уравнению , то этому уравнению удовлетворяют и функции и .

, или

.

Но комплексная функция равна нулю, если равны нулю действительная и мнимая части, т.е.

, 

и являются решениями .

Функции представим по формуле Эйлера

, .

По доказанному частными решениями уравнения будут функции и , которые линейно независимы, так как .

Следовательно, общее решение уравнения

, или

,

где С₁ и С₂  произвольные постоянные.

Пример 9.16.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Характеристическое уравнение   , т.е.  = 0,  = 3. Тогда , т.е. – общее решение данного уравнения.

.

т.е. частное решение имеет вид

Используя формулы , и , можно решать линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков.

Рассмотрим в общем виде уравнение третьего порядка

,

где а₁, а₂, а₃ – постоянные действительные числа. Соответствующее характеристическое уравнение, очевидно, имеет вид

.

Рассмотрим следующие случаи:

1. – действительные числа. Тогда общее решение

.

2. – действительные числа. Тогда

.

3. – действительные числа. Тогда

.

4. k₁ – действительный корень, k_2,3 =   i – комплексные корни.

(все остальные случаи входят в рассмотренные).

Пример 9.16.4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение

   ;

  . Поэтому

– искомое общее решение.