Упражнения.

1. Доказать, что для -го числа арифметической прогрессии с разностью d справедлива формула .

2. Доказать, что при любом натуральном n справедлива формула

3. Доказать, что при любом натуральном n число -15n-1 делится на 9.

4. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 6.

5. Последовательность задана рекуррентным соотношением , , . Доказать, что ( ).

6. Доказать, что при каждом натуральном справедлива формула

7. Доказать, что при каждом натуральном справедливо равенство

.

Индивидуальное задание

1. Доказать, что при каждом натуральном n число делится на :

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

2. Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задания для самоконтроля.

Доказать, что если , то для всех натуральных значений истинно неравенство:

(это неравенство называется неравенством Бернулли).

Лабораторная работа № 10. Размещения

Вопросы к работе.

1. Что изучает комбинаторика?

2. Что представляет собой “правило умножения”?

3. Что такой ?

4. Что такое соединение из элементов по ?

5. Что такое размещение?

6. По какой формуле вычисляется число размещений из по ? Как обозначается это число?

7. Что представляет собой размещение с повторением?

8. По какой формуле вычисляется число размещений с повторением из по ?

Образцы решения заданий.

1. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры?

Решение.

Цифрой разряда десятков искомых чисел может быть одна из цифр 2, 4, 6, 8(4 возможности), а цифрой разряда единиц – одна из цифр 0, 2, 4, 6, 8 (5 возможностей).По правилу умножения, всего несколько чисел будет чисел.

2. Упростить выражение В=

Решение.

В= =

Итак, В= .

3. Упростить выражение Д=

Решение. Д= , Итак Д=20.

4. Решить уравнение относительно натурального :

Решение.

а) Если m=1 , то согласно уравнению будем иметь:

( );

Значит, m=1не является корнем заданного уравнения.

б) Если m≥2, то согласно уравнению будем иметь:

Итак, исходное уравнение имеет два натуральных корня:

5. Упростить выражение: М=

Решение.

,

,

, Итак М=

6. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение.

Поскольку нечетных чисел пять, а именно 1, 3, 5,7,9 то эта задача сводится к выбору размещения на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5 по 2: . Следовательно, искомых чисел имеется 20 штук.

7. Каждый телефонный номер состоит из шести цифр. Сколько всего телефонных номеров не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?

Решение.

Эта задача о числе размещений в шести разных местах шести цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторением каждой из них любое число раз, но не более шести.

Тогда

Итак, число всех указанных телефонных номеров равно 4096.