26. Кольцо классов вычетов по , где –многочлен истинной степени , заданный над полем

Пусть , .

Разделим каждый многочлен из кольца на и отметим множество остатков, получающихся при этом делении:

.

Построим множество классов .

Сложение и умножение в производим по правилам:

.

В итоге получается фактор-кольцо кольца по .

Задача 79. Построить фактор–кольцо .

Решение. Рассмотрим все остатки, которые получаются при делении многочленов из на : , . Множество остатков .

Следовательно, . Таблицы сложения и умножения выглядят следующим образом:

27. Построение поля расширения многочлена над полем

Если многочлен , где – поле, не имеет в этом поле ни одного корня, то всегда можно построить новое поле , которое содержит в себе как часть поле и имеет хотя бы один корень многочлена (причем это поле минимальное). Такое поле называется полем расширения многочлена .

Задача 80. Построить поле расширения многочлена

.

Решение.

. Для многочлена ни один из элементов поля корнем не является. Построим фактор–кольцо . Сложение и умножение в этом кольце осуществляется по таблицам:

Заметим, например, надо умножить на : ; делим на ; в остатке получаем 1; .

Фактор–кольцо является полем, т. к. в нем каждый отличный от элемент обратим: , , , , , , , .

Рассмотрим . Структура изоморфна полю :

.

Условия изоморфизма выполнены, т. к. , , при любых .

Мы построили поле, в которое как часть входит поле .

Найдем в корень многочлена . Им является класс . Проверим это:

, т. к. при делении на себя в остатке получается 0. По определению, –корень многочлена над полем .

Это поле и является полем расширения многочлена .