.

Причем, этот оператор определяем однозначно. Действительно, если бы существовал еще один линейный оператор такой, у которого матрицей была бы матрица в базисе , то мы имели бы

, , и , где – координатный столбец вектора в базисе . Но тогда, для , т. е. и одинаковые.

Итак, множество квадратных матриц -го порядка с вещественными элементами взаимооднозначно отображается на множество линейных операторов -мерного пространства над с фиксированным базисом.

Матрицы можно складывать и перемножать. Операторы можно складывать и перемножать. При этом, если , , то , . Действительно, и тогда и координатный столбец вектора будет суммой координатных столбцов векторов и , т. е. сумма -ых столбцов матриц и . Другими словами, для оператора матрицей в базисе будет . Аналогично доказывается и второй факт о матрице произведения оператора: .

Итак кольцо изоморфно кольцу линейных операторов линейного -мерного пространства над относительно данного базиса .

Задача 73. Проверить, будет ли гомоморфизмом отображение кольца на : если каждому многочлену из поставить в соответствие его младший коэффициент.

Решение. Зададим отображение , т. е. . Проверим верно ли: . Пусть:

, .

Тогда и , , . Итак, , т. е. –гомоморфизм кольца на поле , т. к. полный –образ кольца совпадает с (любое комплексное число может быть младшим коэффициентом какого-то многочлена из ).

24. Идеалы. Главные идеалы

Подкольцо кольца называется левым (правым) идеалом этого кольца, если оно вместе с каждым элементом содержит также все элементы вида , где пробегает кольцо .

Другими словами, непустое подмножество кольца называется левым (правым) идеалом, если

1. –подгруппа группы ,

2. для любых , произведение .

Если одновременно является и левым и правым идеалом в кольце , то называется двусторонним идеалом или просто идеалом.

Из определения следует, что не всякое подкольцо данного кольца есть его идеал, но всякий идеал данного кольца есть его подкольцо.

Задача 74. Пусть –кольцо и . Доказать, что

является левым идеалом.

Решение. –подгруппа группы . Действительно, если , , где , то , , т. е. –подгруппа группы .

Пусть . Найдем , , т. е. . По определению, –идеал кольца .

Этот идеал называется идеалом, порожденным элементом и обозначается символом .

Задача 75. В кольце найти идеал, порожденный элементом 2.

Решение. Искомый идеал состоит из всех элементов вида , где . Итак, . Идеал называется главным идеалом кольца .

Пусть . Тогда представляет собой левый идеал, порожденный элементами , а – правый идеал. Если , то говорят о главном идеале, порожденном элементами . В этом случае главный идеал обозначается символом .

Задача 76. В кольце найти идеал, порожденный элементами 6 и 15.

Решение. Искомый идеал будет состоять из элементов вида , где . Тогда , где . Заметим, что любое целое число может быть представлено в виде . Действительно, , и поэтому целочисленное уравнение с неизвестными имеет решение (сведения из теоремы чисел). Другими словами .

25. Фактор–кольцо

Пусть –произвольное кольцо, – его двусторонний идеал. Тогда можно построить фактор–группу аддитивной группы кольца по подгруппе, состоящей из всех элементов идеала . Если в этой фактор–группе ввести еще операцию умножения по правилу , где , то получится кольцо, называемое фактор–кольцом кольца по двустороннему идеалу . Это фактор–кольцо обозначается символом .

Задача 77. Построить фактор–кольцо .

Решение. Фактор–кольцо состоит всего из двух элементов: класса и класса , где . Сложение и умножение в осуществляется согласно следующих таблиц Кэли:

Задача 78. Построить фактор–кольцо по идеалу .

Решение. , . Найдем фактор–группу . Она состоит из классов , , , , , .

Сложение и умножение в осуществляется по следующим таблицам Кэли:

Из таблицы умножения видно, что есть кольцо с единицей и делителями нуля, которыми являются классы