22. Гомоморфизм и изоморфизм групп

Гомоморфизмом группы в группу называется такое отображение множества и в множество , при котором композиция любых двух элементов и относительно операции отображается в композицию образов элементов и относительно операции , т. е. . При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент группы отображается в нейтральный элемент группы , т. е. . 2) пара симметричных элементов , группы отображаются в пару симметричных элементов , группы .

Множество всех элементов группы , которые при гомоморфизме отображаются в нейтральный элемент группы относительно сужений операции образует подгруппу группы , которая является нормальным делителем группы и называется ядром гомоморфизма .

Задача 69. Определить, является ли отображение гомоморфизмом группы в группу . Если «да», то найти .

Решение. .

При отображении возможны следующие случаи:

1) – чет, – чет; 2) – нечет, – чет; 3) – чет, – нечет; 4) – нечет, – нечет. Проверим, как ведут себя . В первом случае – чет, следовательно . Но , , т. к. и – четные. Тогда . Во втором случае – нечетные, следовательно . Но , и , т. е. . В третьем случае , , , т. е. . В четвертом случае , , , т. е. . В итоге можно сказать, что для любых верно: . Следовательно, – гомоморфизм группы в группу .

Ядром гомоморфизма является множество всех четных чисел, т. е. .

Если при гомоморфизме отображение взаимооднозначно, т. е. , то называется изоморфизмом группы в группу . Если при этом имеется наложение множества на множество , то группы и называются изоморфными.

Задача 70. Изоморфны ли группа и мультипликативная группа кольца ?

Решение. . – множество обратимых элементов из . Взаимооднозначных отображений на несколько. Из них надо выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы Кэли для и :

:					:

Зададим такое отображение , при котором нейтральный эле-мент отобразится в нейтральный элемент (по свойству изоморфиз-ма), т. е. . Тогда остается только одна возможность для отображения . Итак,

.

Проверим, будет ли верно: при .

, т. к. по .

Итак, при , т. е. – изоморфизм. Следова-тельно, группа и мультипликативная группа кольца – изоморф-ны.

Задача 71. Доказать изоморфизм групп и .

Решение. 1 способ. Отображение

взаимооднозначным отображением на . Действительно, влечет , отсюда . Любое целое число вида имеет прообраз, а именно: . При этом отображение , т. к. , , . Следовательно, – изоморфизм и .