Выделим из первой строки алгоритма: . Тогда , .

Задача 25. Для многочленов и подобрать такие многочлены и , чтобы , если алгоритм Евклида для и состоит из трех строк.

Решение. Пусть алгоритм Евклида для многочленов и состоит из трех строк:

Тогда .

Выделим из второй строки: . Найдем из первой строки и подставим его в указанное выражение : , . Заметим, что в этом выражении все слагаемые подразделяются на два типа: те, которые имеют общий множитель , и те, которые имеют общий множитель . Сгруппируем эти слагаемые: . Тогда , .

Если многочлены и над представлены в каноническом виде, т. е. , где – различные нормированные неприводимые над многочлены, – неотрицательные целые числа, , , где , – неотрицательные целые числа, то

– нормированный

общий наибольший делитель многочленов и над полем .

Задача 26. Найти , если и .

Решение. Представим многочлены и в каноническом виде:

, .

Введем в разложения и все фигурирующие основания:

, .

Тогда .

8. Выделение кратных неприводимых множителей

Пусть многочлен задан над числовым полем и его каноническое разложение имеет вид:

( , ).

Многочлены – различные неприводимые нормированные, являются делителями многочлена кратностей соответственно. Тогда производная имеет многочлены кратностей соответственно и

( ).

Заметим может быть равным 0. Это будет в случае, если .

Таким образом, неприводимые множители многочлена – это кратные неприводимые множители многочлена .

Существенно то, что многочлен может быть найден без разложения на неприводимые множители, а при помощи алгоритма Евклида. Для определения же всех кратных неприводимых множителей многочлена достаточно разложить на неприводимые множители многочлен , степень которого меньше степени .

Процедура отыскания кратных неприводимых множителей многочлена с помощью называется выделением кратных неприводимых множителей многочлена .

Заметим, что многочлен

( ).

Иными словами, многочлен имеет те же неприводимые множители, что и , но все однократные.

Нахождение называется освобождением многочлена от кратных неприводимых множителей.

Задача 27. Выделить кратные неприводимые множители многочлена

.

Решение. Дифференцируя , получаем . С помощью алгоритма Евклида находим

.

Отсюда следует, что кратными неприводимыми множителями многочлена являются многочлены (кратности 2) и (кратности 3).

Разделив на получим .

Итак, .

Так как корни многочлена соответствуют его неприводимым множителям первой степени, то корни многочлена – это кратные корни многочлена . Поэтому выделение кратных неприводимых множителей является в то же время выделением кратных корней многочлена .

Задача 28. Найти кратные корни многочлена

.

Решение. Найдем и . Многочлен имеет корень . Это и есть кратный корень многочлена кратности 2. (Остальные корни можно найти, разделив на ).

Задача 29. Выяснить, при каких значениях параметра многочлен

имеет кратный корень.

Решение. Имеем: . Корни этого многочлена

, .

Находим:

и .

Заметим, что – кратные корни многочлена тогда, когда , , т. е. при и . Итак, при многочлен имеет двукратный корень , при – двукратный корень .