.
Решение. Корень
многочлена
имеет кратность, равную
,
тогда и только тогда, когда в разложении
многочлена
по степеням
коэффициенты
,
а
.
Значит, чтобы решить поставленную задачу, надо построить схему Горнера для разложения многочлена по степеням и посмотреть сколько нулей подряд в разложении. Это количество нулей и будет кратность корня .
5. Неприводимые многочлены над полем
Многочлен
натуральной степени
называется приводимым над полем
,
если над этим полем существуют два
многочлена
и
натуральной степени такие, что
.
Многочлен натуральной степени называется неприводимым над полем , если над этим полем нельзя подобрать многочлены и натуральной степени такие, что .
Задача 19.
Является ли приводимым многочлен
над
.
Решение.
1
способ.
Если над
существуют многочлены
и
натуральной степени такие, что
,
то они могут быть только определенной
истинной степени:
,
.
Но тогда
,
.
Используем метод неопределенных
коэффициентов для нахождения
.
,
то есть
,
в 
.
Имеем:
,
то есть
,
,
то есть
.
Всего получается 4 четверки
для нахождения
из системы:
(1)
,
т. е.
,
откуда
не является решением
исходной системы.
(2)
,
т. е.
,
откуда
является решением
исходной системы, т. е.
,
и
.
Следовательно многочлен является приводимым над полем .
2 способ.
Если над
многочлен приводим, то он представлен
в виде произведения линейного двучлена
и многочлена второй степени:
, где
.
Но означает, что
является корнем многочлена
.
Значения
.
Проверим каждое из них:
,
где
.
Следовательно,
является приводимым над
многочленом.
6. Критерий Эйзенштейна
Многочлен
с рациональными коэффициентами неприводим
над полем
тогда и только тогда, когда над этим
полем неприводим многочлен с целыми
коэффициентами, полученный умножением
на общее наименьшее кратное знаменателей
всех его коэффициентов.
Пусть
,
- многочлен с целыми коэффициентами.
Критерий
Эйзенштейна:
Если существует такое простое число
,
что старший коэффициент многочлена
не делится на
,
все остальные коэффициенты делятся на
,
а младший коэффициент
,
делится на
,
не делится на
,
то многочлен
неприводим над полем
.
Заметим, что эта теорема является достаточным условием неприводимости многочлена над .
Задача 20.
Проверить, является ли неприводимым
над
многочлен
.
Решение.
Здесь подходит
число
.
Действительно,
не делится на 2,
,
,
,
,
,
,
,
не делится на
.
Значит,
неприводим над
.
Задача 21. Приводим
ли над
многочлен
.
Решение. К
этому многочлену критерий Эйзенштейна
непосредственно применить нельзя. Но
сделаем замену
,
в результате которой получается многочлен
,
неприводимый в силу критерия Эйзенштейна
(
).
Следовательно, и многочлен
неприводим над
.
7. Наибольший общий делитель двух многочленов и его свойства
–
это такой многочлен
,
который делит
и
и сам делится на любой общий делитель
многочленов
и
.
Для данных многочленов
и
над полем
существует столько наибольших общих
делителей, сколько элементов в поле
минус 1.
Все наибольшие
общие делители многочленов
и
различаются только скалярным множителем
.
Среди всех общих
наибольших делителей многочленов
и
выделяют один – старший коэффициент
которого равен
.
Этот многочлен называют нормированным
общим наибольшим делителем многочленов
и
.
можно найти по определению.
Задача 22. Найти
для
и
над
.
Решение. Многочлен
делится на все многочлены вида
,
,
(
),
на все многочлены вида
,
,
(
),
на все многочлены вида
,
,
(
),
на все многочлены вида
,
,
(
).
Многочлен
делится на все многочлены вида
,
,
(
),
и на все многочлены вида
,
,
(
).
Общими делителями многочленов
и
являются все многочлены вида
,
,
(
)
и все многочлены вида
,
,
(
).
Среди них делятся на все общие делители
многочленов
и
только многочлены вида
,
,
(
).
Значит, они и являются общими делителями
многочленов
и
.
Их бесконечно много. Среди них выделяется
нормированный
.
можно найти с помощью алгоритма Евклида.
Пусть даны
и
и
.
Разделим на :
,
,Если
,
то разделим
на
:
,
,Если
,
то разделим
на
:
,
,
и т.д. до тех пор, пока в остатке не
получится
:
, 
,
.
.
.
Заметим, что деление нужно производить «уголком».
Задача 23. Найти
,
если
,
.
Решение.
-
1)
2)
25
3)
25
0
Значит,
.
Запишем нормированный
:
.
С помощью алгоритма
Евклида для многочленов
и
всегда можно подобрать такие
и
,
что
.
Задача 24.
Для многочленов
и
подобрать такие многочлены
и
,
чтобы
,
если алгоритм Евклида для
и
состоит из двух строк.
Решение. Пусть алгоритм Евклида для многочленов и состоит из двух строк:
Тогда
.