3 Линейные нормированные пространства и операторы в них

Тема 1

Линейные нормированные пространства

3.1.1 Проверить, является ли функция p нормой в пространстве X. Образует ли пара , где , метрическое пространство (таблица 3.1.1)?

Таблица 3.1.1

Вариант	X	p(x)
1
2
3
4
5
6

3.1.2 Является ли множество А выпуклым в пространстве X (таблица 3.1.2)?

Таблица 3.1.2

Вариант	X	A
1		неубывающие функции
2
3		многочлены степени n
4
5		многочлены степени k
6

3.1.3 Проверить, является ли данная последовательность векторов в бесконечномерном пространстве X линейно независимой (таблица 3.1.3).

Таблица 3.1.3

вариант	X
1
2
3
4
5		функция Дирихле
6

3.1.4 Привести пример последовательности , которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены естественными нормами (таблица 3.1.4).

Таблица 3.1.4

Вариант	1	2	3	4	5	6
X
Y

3.1.5 Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E (таблица 3.1.5)?

Таблица 3.1.5

Вариант	E	p	q
1	2	3	4
1

Окончание таблицы 3.1.5

1	2	3	4
2
3
4	с
5
6

3.1.6 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и

одним из стандартных линейных пространств (таблица 3.1.6).

Таблица 3.1.6

вариант	L	M
1
2
3
4
5
6

Тема 2

Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах

3.2.1 Пусть X, Y – нормированные пространства. Выяснить, совпа-дет ли область определения оператора А с нормированным пространством Х. Является ли оператор А линей-ным, непрерывным оператором из в Y (таблица 3.2.1)?

Таблица 3.2.1

Вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

3.2.2 Доказать, что оператор умножения А: Х Y является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.2).

Таблица 3.2.2

Вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

3.2.3 Доказать, что диагональный оператор, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.3).

Таблица 3.2.3

Вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

3.2.4 Доказать, что оператор данный замены переменной, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.4).

Таблица 3.2.4

Вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

3.2.5 Доказать, что интегральный оператор, действующий из X в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.5).

Таблица 3.2.5

Вариант	Х	Y	A
1	2	3	4
1

Окончание таблицы 3.2.5

1	2	3	4
2
3
4
5
6

3.2.6 Для последовательности операторов если X, Y Norm и установить: 1) сходится ли поточеч-но (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А (таблица 3.2.6).

Таблица 3.2.6

Вариант	Х	Y		А
1
2				0
3				0
4				0
5				0
6

Тема 3

Обратные операторы

3.3.1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его (таблица 3.3.1).

Таблица 3.3.1

Вариант	X	Y	A
1
2
3
4
5
6

3.3.2 Пусть .

1) Что представляет собой область значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор (таблица 3.3.2)?

Таблица 3.3.2

Вариант	X	Y	A
1	2	3	4
1
2
3
4

Окончание таблицы 3.3.2

1	2	3	4
5
6

3.3.3 Пусть , где – числовой параметр, – банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим (таблица 3.3.3)?

Таблица 3.3.3

Вариант		Y
1
2
3
4
5
6

Литература

1 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. − Мн.: БГУ, 2003. − 430 с.

2 Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. − М.: Наука, 1972. – 496 с.

3 Функциональный анализ и интегральные уравнения: лабораторный практикум / А. Б. Антоневич [и др.]. − Мн.: БГУ, 2003. − 179 с.

4 Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. − М.: Наука, 1979. – 381 с.

42