1. Визначаємо кількість вузлів і позначаємо їх на схемі арабськими цифрами в кружечках (рис. 5.14).

2. Визначаємо кількість вузлів .

3. Довільно задаємося умовно додатним напрямом струму в кожній вітці і

рис.5.13 Рис.5.14

позначаємо його на схемі стрілками (рис.5.14)

4. Визначаємо число незалежних контурів

Вибираємо незалежні контури і напрями їх обходу та позначаємо на схемі (рис. 5.14) римськими цифрами і напівкруговими стрілками.

5. Складаємо систему рівнянь. Усього потрібно скласти рівнянь (тобто 6), з яких рівняння складаємо за першим законом Кірхгофа і – за другим. Спочатку складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа, потім – за першим:

І контур

II контур

ІІІ контур

І-й вузол

3-й вузол

4-й вузол

6. Розв’язуємо систему рівнянь. Оскільки система складається із шести рівнянь і кожне рівняння з останніх трьох містить по три невідомі, доцільно знизити порядок системи методом підстановки. Залишимо невідомими струми тобто зведемо систему до 3-го порядку. Для цього з останніх трьох рівнянь знайдемо:

для 1-го вузла

для 4-го

для 4-го

Підставимо значення в перші три рівняння, дістанемо систему з трьох рівнянь:

або, підставивши числові значення опорів, матимемо

Розв’язавши систему , здобудемо

Використовуючи рівняння, записані на початку цього пункту, знайдемо струми

Зауважимо, що струми і , знайдені при розв’язуванні системи, одержали зі знаком “–”. Це означає, що дійсні напрями струмів протилежні напряму тих струмів, які довільно вибрані при розв’язуванні задачі, тобто стрілки і потрібно спрямувати в інший бік.

Перевірка правильності розв’язування задачі за першим і другим законами Кірхгофа, а також баланс потужностей виконується так само, як і в попередньому методі.

Зауважимо тільки, що для перевірки за першим законом слід брати вузли, а за другим – ті контури, які не використовувались при складанні рівнянь в п.5.

5.3. Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів

Метод контурних струмів є одним з основних методів розрахунку складних електричних кіл, які широко використовуються на практиці. Виявляється, що розрахунок лінійного кола будь-якої складності можна звести до розв’язування системи рівнянь, якщо ввести поняття “контурний струм”. Контурним називається умовний струм, який циркулює тільки в даному контурі.

При цьому, якщо в – й вітці протікає один контурний струм, то дійсний струм в цій вітці дорівнює контурному. Дійсні струми у вітках, які є загальними для двох або для більшого числа контурів, дорівнюють алгебраїчній сумі відповідних контурних струмів. При розрахунку кіл методом контурних струмів відпадає потреба складати рівняння за першим законом Кірхгофа, а складається тільки система з рівнянь для незалежних контурів схеми.

Припустимо, що коло, розрахунок якого потрібно зробити, складається з незалежних контурів. Тоді, довільно вибравши додатні напрями обходу кожного контура, вважають їх також додатними напрямами контурних струмів (рис. 5.15).

Рис.5.15

Алгебраїчну суму ЕРС, які входять у – й контур, позначимо . При цьому ЕРС, напрям якої збігається з напрямом обходу контура, записують зі знаком “+”, якщо напрям ЕРС протилежний напряму обходу контура – зі знаком “–“. Сума опорів, які входять до контура , називається власним опором контура і позначається . Сума опорів у загальній для контурів i вітці називається спільним опором контурів i та позначається або . За другим законом Кірхгофа складаємо для всіх незалежних контурів систему з лінійних рівнянь:

(5.2)

……………………………

де є алгебраїчна сума ЕРС, які діють у даному контурі.

Домовимося, що біля контурних ЕРС і контурних струмів будемо ставити індекси римськими цифрами, а біля струмів у вітках – арабськими.

Відповідно до правила знаків власні опори контурів увійдуть у рівняння системи (5.2) із знаком “+”, оскільки додатний напрям контурного струму береться однаковим з додатним напрямом обходу цього контура. Спільні опори контурів (або ) увійдуть до рівняння системи із знаком “+”, якщо струми і збігаються за напрямом, то спільні опори (або ) входять до рівняння (5.2) із знаком “–“. Якщо вибирати додатними напрями обходу всіх контурів в один бік, наприклад, за рухом годинникової стрілки, то всі власні опори контурів увійдуть до рівняння системи із знаком “+”, а всі спільні опори контурів – зі знаком “–“. Тоді система (5.2) записується в такому

вигляді:

(5.3)

………………………………

Розв’язавши її, визначають контурні струми.

Після визначення контурних струмів знаходять дійсні струми віток. При цьому, якщо в – й вітці протікає один контурний струм, то дійсний струм у цій вітці дорівнює контурному. Дійсні струми у вітках, спільних для двох або кількох контурів, являють собою алгебраїчні суми відповідних контурних струмів.

Послідовність розрахунку така.

1. Визначити кількість вузлів у схемі.

2. Визначити кількість віток у схемі.

3. Обчислити число незалежних контурів .

4. Вибрати незалежні контури і позначити на схемі.

5. Довільно задатися напрямом контурних струмів і позначити їх на схемі. Обхід контурів під час складання рівнянь має відбуватися за напрямом контурних струмів.

6. Скласти систему рівнянь за другим законом Кірхгофа ( число рівнянь

має дорівнювати числу незалежних контурів).

7. Розв’язати систему рівнянь і визначити контурні струми.

8. За знайденими контурними струмами визначити дійсні струми у

вітках.

9. Виконати перевірку за другим законом Кірхгофа.

10. Перевірити баланс потужностей (як і за попереднім методом).

Приклад 4. Виконати розрахунок електричного кола, схема якого зображена на рис. 5.1, методом контурних струмів.

Рис.5.16

Розв’язання.

1. Джерело струму перетворимо на джерело ЕРС, замкнувши струм

через опір . Дістанемо схему на рис. 5.16, де

2. 2. Визначимо число вузлів у схемі

3. 3. Знайдемо число віток у схемі

4. Визначимо кількість незалежних контурів

5. Виберемо незалежні контури і позначимо на схемі І, ІІ, ІІІ.

6. Довільно задамося напрямом контурних струмів і позначимо їх на схемі напівкруглими стрілками.

7.Складемо систему рівнянь за другим законом Кірхгофа для кожного

контура:

;

;

,

де: ; ; – це є власні опори контурів І, ІІ, ІІІ; ; ; – це є спільні опори контурів 1 і 2, 1 і 3, 2 і 3; ; ; – контурні ЕРС.

Отже, піставивши числові значення опорів і ЕРС, дістанемо систему рівнянь:

;

;

.

8. Розв’язавши систему, знайдемо контурні струми:

; ; .

Контурні струми і мають знак “–“. Отже, їх дійсні напрями слід замінити на протилежні:

, .

Накреслимо неперетворену схему (рис.5.17) і на ній покажемо справжні напрями струмів.

9. За знайденими контурними струмами знайдемо струми у вітках:

;

.

Струм знайдемо за першим законом Кірхгофа для першого вузла. Довільно виберемо його напрям від першого до другого вузла (рис. 5.17):

,

Звідки .

Струм має знак “+”, отже, його напрям вибраний правильно. Визначаємо струми:

;

;

.

10. Перевірка за другим законом Кірхгофа і за балансом потужностей виконується так само, як і в попередніх методах.