2.6. Фазовые соотношения между падающей, отраженной и преломленной волнами на границе раздела сред.

Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через плоскую границу двух диэлектрических сред I и II (одной из них может, в частности ,быть и вакуум). Эта ситуация представлена на рисунке 2.6.1(а) , (б) для случая двух различных поляризаций . Направление электрического и магнитного векторов соответствует правилу , согласно которому k, E, B образуют правую тройку . Мы использовали в качестве магнитного вектора H, поскольку именно для него будем писать соответствующее граничное условие . Заметим, что магнитное поле ориентированно на рис. 2.6.1(а) так же, как электрическое поле на рис. 2.6.1(б) ( с точностью до знака), а на рис. 2.6.1(б) – ортогонально плоскости рисунка. Результаты которые мы получили, можно переносить и на случай искривленной поверхности раздела. Она лишь должна быть гладкой , а радиус кривизны ее должен многократно превосходить характерный пространственный масштаб электромагнитного поля – длину волны . Т.о. мы опишем действие на электромагнитную волну , в частности , поверхности линзы. Все расчеты линз , тонких и толстых , а также и сложных оптических систем базируются именно на законе преломления . Мы будем пользоватmся не понятием луча, принятым в геометрической оптике, а более корректным с точки зрения электродинамики понятием волнового фронта ; «лучи»- падающий , отраженный и преломленный – изображенные на рис.2.6.1, представляют в наших терминах нормали к волновому фронту , направление которых задается вектором k.

Рис.2.6.1

Пусть показатели преломления сред I и II равны , соответственно ( в вакууме просто единице ). Мы показали на каждом из рисунков 2.6.1 три волны : падающую (i), отраженную (r) , и преломленную (d). Это экспериментальный факт , известный каждому школьнику, но даже не зная этого заранее , можно было бы его предсказать , исходя из уравнений Максвелла. В случае падения электромагнитной волны на проводящую поверхность у нас «работало» единственное нетривиальное граничное условие – закон сохранения тангенциальной компоненты электрического поля , а все остальные выполнялись должным образом за счет зарядов и токов , индуцированных на поверхности проводника Теперь такой возможности нет , так как мы имеем с диэлектрическими средами , а поэтому всего лишь одной волны помимо падающей, нам просто не хватит. В каждой из двух ситуаций на рис. 2.6.1 нам придется выполнять условие непрерывности и . Третье условие - сохранение в случае , изображенном на рис. 2.6.1 (а), и в случае рис. 2.6.1(б) - -будет выполнено автоматически как следствие закона преломления .

Еще один вопрос , на который целесообразно ответить заранее : правомерно ли разделение постановки задачи именно на те два случая , которые представлены на рис. 2.6.1(а) и (б)? Не могут ли возникнуть отраженные либо преломленные волны с поляризацией , ортогональной таковой в падающей волне? Ответ: не могут , и это прямое следствие уравнений Максвелла и граничных условий . В силу линейности задачи , мы можем расщепить решение уравнений Максвелла на два линейно независимых , соответствующих двум различным поляризациям . Выбирая решение с одной из поляризаций – той же что и падающей волны , мы оперируем с полями трех волн ,что позволяет выполнить граничные условия , или . При попытки выполнить их для другой поляризации нам опять не хватит переменных , т.к. в нашем распоряжении будет только две волны , без падающей , так что единственным возможным решением с такой поляризацией окажется нулевое поле . Разумеется , эти рассуждения находятся в полном с экспериментальными данными . Пусть все три волны записаны в виде . (2.6.1)

Очевидно , для линейной среды зависимость H(r,t) или B(r,t) будет иметь точно такой же вид. Воспользуемся для случая ( а ) граничным условием

а для случая (б)

(мы учли, что в обоих случаях в соотношение входят параллельные векторы). Поскольку дальнейшие действия для обеих поляризаций совершенно идентичны , мы ограничимся случаем рис.2.6.1 (а). Пусть в какой тог момент граничное условие выполнено. Однако оно сразу же нарушится , если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех полей . Это означает , что частота всех трех волн должна быть одинаковой ( и действительно , отражение от прозрачной среды и преломление в ней « сохраняют цвет»). Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату x . Из поперечности волн и паралельности векторов следует, что все три волновых вектора лежат в одной плоскости – падения . Вдоль оси Ox произведения kr в формулах типа (2.6.1) вырождаются в .Т.о. , граничное условие при равных частотах сводится к следующему :

Мы воспользовались обозначением углов рис.2.6.1 и учли ,что из равенства частот для падающей и отраженной волн следует равенство волновых чисел . Для преломленной волны волновое число определяется формулой

Теперь потребуем , чтобы наше граничное условие выполнилось в любой точке оси Ox. Для этого необходимо ,чтобы экспоненциальные множители были тождественно равны друг другу , а значит , равны должны быть и их аргументы:

.

Мы получили аналитически из законов электродинамики хорошо известные правила вычисления углов отражения и преломления :