§ 5.3. Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа – уравнение, связывающее параметры состояния газа. Уравнение Клапейрона–Менделеева (уравнение состояния) для 1 моль идеального газа:

где p, V_m, T – соответственно давление, молярный объем и термодинамическая температура газа; R – молярная газовая постоянная.

Молярная газовая постоянная определяется из формулы (моль газа находится при нормальных условиях: p₀ =1,013∙10^-9

^-9

^-9

^-9

⁵ Па, T₀ =273,15 K, V_m = 22,41∙10^-3 м³ /моль):

Постоянная Больцмана

Из уравнения состояния с учетом постоянной Больцмана найдем:

Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния) для произвольной массы газа:

где p, V, T – соответственно давление, объем и термодинамическая температура, m – масса газа, M – его малярная масса, – количество вещества.

• Уравнение состояния идеального газа:

где n – концентрация молекул (число молекул в 1 м³ газа).

Частные случаи уравнения состояния идеального газа:

1. – закон Бойля-Мариотта.

2. – закон Гей-Люссака.

3. – закон Шарля.

§ 5.4. Графическое представление изопроцессов

в газах

Изопроцессы – процессы, при которых один из термодинамических параметров состояния газа сохраняется постоянным. График зависимости между параметрами состояния газа при:

• T=const – изотерма;

• p =const – изобара;

• V=const – изохора.

Изотермический процесс (рис.5.2):

V

T

0

0

V

T₁

T₂

T₂>T₁

Рис. 5.2

p

V

T

0

0

V

T₁

T₂

T₂>T₁

Рис. 5.2

p

Изобарный процесс (рис.5.3):

T

0

p

T

0

p

V

0

p

V

0

p

-1/α

0

t

V

p₁ = const

p₁ > p₂

p₂ = const

-1/α

0

t

V

p₁ = const

p₁ > p₂

p₂ = const

T

0

V

Рис. 5.3

T

0

V

Рис. 5.3

T

0

V

T

p

0

p

0

T

Рис. 5.4

-1/α

0

t

p

V₂ = const

V₁ = const

V₁ > V₂

T

0

V

T

p

0

p

0

T

Рис. 5.4

-1/α

0

t

p

V₂ = const

V₁ = const

V₁ > V₂

§ 5.5. Основное уравнение молекулярно -

кинетической теории идеальных газов

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

,

где p – давление газа, n – концентрация молекул, m₀ –масса одной молекулы, – средняя квадратичная скорость молекул:

(считается, что в объёме V имеется N молекул, движущихся со скоростями v_1, v_{2, …,} v_N ). Учитывая, что , получаем:

,

,

где E – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Масса газа :

Для 1 моль газа m = M (M – молярная масса), V_m – молярный объём и основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

По уравнению Клапейрона – Менделеева:

Средняя квадратичная скорость:

,

где – постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа:

.

Термодинамическая температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

§ 5.6. Распределение молекул идеального газа по

cкоростям

Согласно молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m₀ в газе, находящемся в состоянии равновесия при T = const, остается постоянной и равной

.

Это объясняется тем, что в газе находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон выведен Дж. Максвеллом.

Предположения Максвелла:

1. Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.

2. Температура газа постоянна.

3. Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение.

4. На газ не действуют силовые поля.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v),называемой функцией распределения молекул по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные ∆v,то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул ∆N(v), имеющих скорость, заключенную в данном интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул ∆N(v)/ N, скорости которых лежат в интервале от v до +∆v, т.е.:

откуда

График функции распределения молекул по скоростям дан на рис. 5.5.

Относительное число молекул скорости которых лежат в интервале от v до v+∆v, находят как площадь заштрихованной полоски.

Наиболее вероятная скорость – скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна:

При повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако, площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул будет растягиваться и понижаться (рис. 5.6).

Скорости, характеризующие состояние газа:

• наиболее вероятная:

• средняя:

• средняя квадратичная:

Рис. 5.6

f(v)

0

v

T₁ < T₂

Рис. 5.6

f(v)

0

v

T₁ < T₂

v

v_в

∆v

Рис. 5.5

f(v)

0

v

v_в

∆v

Рис. 5.5

f(v)

0

Парообразование – процесс перехода вещества из жидкого состояния в газообразное.

Испарение – парообразование, происходящее при любой температуре со свободной поверхности жидкости.

Сублимация (возгонка) – испарение твердых тел.

Конденсация – переход вещества вследствие его охлаждения или сжатия из газообразного состояния в конденсированное (жидкое или твердое). Конденсация – процесс, компенсирующий испарение.

Кипение – парообразование во всем объеме жидкости при определенной, сильно зависящей от давления, температуре кипения. С увеличением внешнего давления температура кипения повышается (и наоборот). Температура кипения равна температуре конденсации.

Плавление – переход вещества из кристаллического (твердого) состояния в жидкое. Плавление происходит при определенной, возрастающей с увеличением внешнего давления, температуре (точке) плавления.

Кристаллизация (затвердевание) – переход вещества из жидкого состояния в кристаллическое (твердое).

Для химически чистой жидкости этот процесс идет при постоянной температуре кристаллизации (она равна температуре плавления). Для кристаллизации необходимо наличие центров кристаллизации – примесей, пылинок. Парообразование (испарение, кипение) происходит с поглощением энергии. Конденсация и кристаллизация происходят с выделением энергии.

Фаза – термодинамически равновесное состояние вещества, отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества. Если, например, в закрытом сосуде находится вода, то эта система является двухфазной: жидкая фаза – вода; газообразная фаза – смесь воздуха с водяными парами. Если в воду бросить кусочки льда, то эта система станет трехфазной, в которой лед является твердой фазой. Часто понятие «фаза» употребляется в смысле агрегатного состояния, однако надо учитывать, что оно шире, чем понятие «агрегатное состояние». В пределах одного агрегатного состояния вещество может находиться в нескольких фазах, отличающихся по своим свойствам, составу и строению (лед, например, встречается в пяти различных модификациях – фазах).

Фазовый переход – переход вещества из одной фазы в другую. Фазовый переход всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового перехода могут служить изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах вещества( например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую). Если система является однокомпонентной, т.е. состоящей из химически однородного вещества или его соединения, то понятие фазы совпадает с понятием агрегатного состояния. Переход в агрегатное состояние, отвечающее более высокой температуре, требует подвода энергии; переход же в агрегатное состояние, отвечающее более низкой температуре, сопровождается выделением энергии.

Твердое

Жидкое

Затвердевание

Конденсация

Сублимация (возгонка)

Плавление

Испарение

Твердое

Жидкое

Затвердевание

Конденсация

Сублимация (возгонка)

Плавление

Испарение

Газообразное

Газообразное

Насыщенный пар. Если парообразование происходит в закрытом сосуде, то одновременно идет и процесс конденсации. Через некоторое время будет наблюдаться динамическое равновесие между этими процессами и перестанет меняться количество жидкости и находящегося над ней пара. Насыщенный пар – газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия со своей жидкостью. Давление насыщенного пара зависит только от его химического состава и температуры. На рис. 5.7 представлена зависимость давления для насыщенного пара (кривая 1) и для идеального газа (кривая 2) от температуры при постоянном объеме. Давление насыщенного пара повышается с повышением температуры.

Ненасыщенный пар – пар, для которого при данной температуре его давление меньше давления насыщенного пара (p<p_в ).

p

0

T

1

2

Рис. 5.7

0

p

p_н

V

1

2

3

4

T = const

Рис. 5.8

p

0

T

1

2

Рис. 5.7

0

p

p_н

V

1

2

3

4

T = const

Рис. 5.8

Критическое состояние – состояние вещества, в котором плотности жидкости и насыщенного пара становятся одинаковыми, и исчезает граница между жидкостью и паром. Критическое состояние определяется критическими параметрами T_кр , p_кр , V_кр (p_кр – критическое давление, V_кр – критический объем).

В критической точке К (рис. 5.9): p_{н.п =} p_ж.

p

0

T

K

Жидкость

Насыщенный

пар

T_кр

Рис. 5.9

p

0

T

K

Жидкость

Насыщенный

пар

T_кр

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Рис. 5.10

Тройная точка – точка, в которой пересекаются кривые фазового равновесия и которая, следовательно, определяет условия (температуру T_тр и давление p_тр) одновременного равновесия сосуществования трех фаз вещества.

Каждое вещество имеет одну тройную точку. Для многих веществ при плавлении объем возрастает, и увеличение давления приводит к повышению температуры плавления (сплошная КП на рис. 53). Для некоторых же веществ (H₂O) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, и увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления.

Анализ экспериментальной диаграммы состояния. На основе экспериментальной диаграммы состояния можно определить, в каком состоянии находится данное вещество при определенных p, T, а также, какие фазовые переходы будут происходить при том или ином процессе. Например, при условиях, соответствующих точке 1 (рис. 5.11), вещество находится в твердом состоянии, точке 2 – в газообразном, а

Рис. 5.11

Рис. 5.11

точке 3 – одновременно в жидком и газообразном состояниях. Допустим, что вещество в твердом состоянии, соответствующем точке 4, подвергается изобарному нагреванию, изображенному на диаграмме состояния горизонтальной штриховой прямой 4–5–6. Из рисунка видно, что при температуре, соответствующей точке 5, вещество плавится, при более высокой температуре, соответствующей точке 6, – начинает превращаться в газ. Если же вещество находится в твердом состоянии, соответствующем точке 7, то при изобарном нагревании (штриховая прямая 7 – 8)кристалл превращается в газ, минуя жидкою фазу. Если вещество находится в состоянии, соответствующем точке 9, то при изотермическом сжатии (штриховая прямая 9 – 10) оно пройдет следующие три состояния: газ – жидкость – кристаллическое состояние. На диаграммах состояния видно, что кривая испарения обрывается в критической точке К. Поэтому возможен непрерывный переход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно в обход критической точки без пересечения кривой испарения (переход 11 – 12), т.е. такой переход, который не сопровождается фазовыми превращениями. Переход же кристаллического состояния в жидкое или газообразное может быть только скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и сублимации не обрываются.