§ 3.3. Уравнение Бернулли

Закон (принцип) Бернулли - давление жидкости, текущей в трубе, больше в тех частях трубы, где скорость ее движения меньше, и наоборот, в тех частях, где скорость больше, давление меньшее.

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

где р - статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ - скорость жидкости для этого же сечения; динамическое давление жидкости для этого же сечения; h - высота, на которой расположено сечение; ρgh - гидростатическое давление.

Уравнение Бернулли - закон сохранения механической энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости (уравнение выводится из закона сохранения энергии).

Гидростатическое давление - давление, обусловленное силой тяжести и зависящее от глубины под поверхностью жидкости:

где р - плотность жидкости; h - глубина столба жидкости.

Уравнение Бернулли для горизонтальной трубки тока()

Полным давлением

Применение уравнения Бернулли:

• Манометры

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока

и уравнения неразрывности

следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т.е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 3.3). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

A

B

C

Рис. 3.3

A

B

C

Рис. 3.3

• Водоструйный насос

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так, что давление на выходе из трубки равно атмосферному (рис. 3.4). В трубке имеется сужение, в этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачиваемом сосуде. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца.

• Вода

Воздух

Вода + воздух

Рис. 3.4

Вода

Воздух

Вода + воздух

Рис. 3.4

Трубка Пито - Прандтля состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру (рис. 3.5). С помощью одной из трубок измеряется полное давление (), с помощью другой - статическое (p).

Манометром измеряется разность давлений:

где - плотность жидкости в манометре.

С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность давлений равна динамическому давлению:

p

Рис. 3.5

p

Рис. 3.5

Из этих формул искомая скорость потока жидкости

• Скорость истечения жидкости через малое отверстие в стенке сосуда

Уравнение Бернулли для двух сечений (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия; рис. 3.6):

где p_l = р₂ (атмосферное давление);

- скорости жидкости для двух сечений.

Рис. 3.6

Рис. 3.6

Тогда

(уравнение неразрывности). Если S₁ >> S₂, то членом можно пренебречь и

Формула Торричелли

где h - глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.