3.2.Перевод правильных дробей

Теперь рассмотрим случай 0<А^р<1. Мы хотим найти неотрицательные целые числа  коэффициенты а^-1, а^-2,..., а^-m, каждый из которых меньше q, такие, что

А^р = а^-1q^-1 + а^-2q^-2 + ... + а^-mq^-m = А^q.

Умножая обе части равенства на q, получим:

q·А^р = а^-1+ а^-2q^-1 +...+ а^-mq^-m+1 = U^-1+V^-1,

где U^-1 есть целая часть числа q·А^(р), а V^-1  дробная часть числа. Отсюда U^-1 =а^-1,

V^-1 = а^-2q^-1 + ... + а^-mq^-m+1.

Умножая обе части последнего равенства на q, получим:

q V^-1 = а^-2+а^-3q^-1+...+а^-mq^-m+2=U^-2-V^-2,

откуда U^-2 = а^-2; V^-2 = а^-3q^-1 + ... + а^-mq^-m+2 и т.д.

Таким образом, получаем следующее правило перевода правильной дроби:

Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую состоит в последовательном умножении исходного числа и дробных частей, получающихся произведений на новое основание системы счисления до тех пор, пока либо не получится целое произведение, либо не получится нужное количество цифр в новой системе счисления для записи дроби. Из получающихся целых частей составится число в новой системе счисления: первая целая часть в новой системе счисления будет первой цифрой дробной части числа, вторая целая часть - второй цифрой и т.д. Умножение выполняется по правилам той системы счисления, в которой записано исходное число. Множитель (основание новой системы счисления) записывается цифрами исходной системы счисления.

На практике для перевода дробной части числа из десятичной системы в двоичную исходную дробь умножают на два. Целую часть произведения (0 или 1) принимают в качестве старшей цифры двоичной дроби. Новую дробную часть снова умножают на два, и целую часть результата берут в качестве следующей цифры искомого двоичного числа. Этот процесс в общем случае продолжается бесконечно. Он останавливается при получении достаточного количества двоичных разрядов из соображений точности либо из каких-либо иных соображений.

Если записывать последовательные произведения друг под другом и отделить чертой целую и дробную части, то слева от черты, читая сверху вниз, получим двоичный эквивалент переводимой дроби. Для примера переведем в двоичную систему десятичное число 0,35:

0 35

0 70

1 40

0 80

1 60

1 20

0 40

0 80

1 60

Поясним это: 0,35·2=0,70, следовательно, 0  первая цифра после запятой в переводимой дроби. Далее 0,70·2=1,40. Значит, следующая цифра 1. Затем 0,40·2=0,80. Следующая цифра 0 и т.д.

Выписывая цифры полученного столбца сверху вниз, получим:

0,35≈0,01011001².

Здесь стоит знак приближенного равенства, т.к. мы ограничились восемью двоичными цифрами после запятой, в то время как точный перевод в данном случае представляет собой бесконечную периодическую двоичную дробь.

Примеры:

1) Перевести числа 0,47 и 0,75 из десятичной системы счисления в двоичную (до четырех знаков после запятой):

0 , 47 0, 75

2 2

0 94 1 50

2 2

1 88 1 00

2

1 76

2

1 52

Итак, 0,47¹⁰=0,0111²; 0,75¹⁰=0,11².

2) Перевести числа 0,47 и 0,75 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления (с точностью до двух знаков после запятой):

0 , 47 0, 75

16 16

2 82 4 50

4 7 7 5

7 52 12 00

16

3 12

5 2

8 32

Итак, 0,47¹⁰=0,78¹⁶; 0,75¹⁰=0,С¹⁶, т.к. 12¹⁰=С¹⁶.

При переводе смешанного числа выполняется отдельно перевод целой и дробной частей по соответствующим правилам, а затем к целой части приписывают дробную.

Например, при переводе числа 118,47 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную получим:

118¹⁰=76¹⁶, 0,47¹⁰=0,78¹⁶, значит, 118,47¹⁰=76,78¹⁶.

В некоторых случаях можно рекомендовать упрощенные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Так, при переводе из любой системы счисления в десятичную удобно пользоваться разложением числа в виде многочлена по степеням основания.

Примеры:

1) 1110110²=1·2⁶+1·2⁵+1·2⁴+0·2³+1·2²+1·2¹+0·2⁰=

= 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0¹⁰ = 188¹⁰

2) 1011,1²=1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+1·2^-1=8+0+2+0,5=11,5¹⁰

3) 76¹⁶=7·16¹+6·16⁰=122+6=118¹⁰

4) A5,8¹⁶=A·16¹+5·16⁰+8·16^-1=160+5+0,5=165,5¹⁰

При переводе числа из шестнадцатиричной системы счисления в двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменяют соответствующими четырьмя двоичными цифрами  тетрадой.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Пример: CA53,78D₁₆ = 1100101001010011,011110001101₂, т.к.

C A 5 3 , 7 8 D

| | | | | | | |

1100 1010 0101 0011,0111 1000 1101

Аналогично, FA¹⁶=1111 1010².

При переводе из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную исходное число разбивают (вправо и влево от запятой) на четверки цифр и каждую полученную тетраду заменяют соответствующей ей цифрой в шестнадцатеричной системе.

Пример: 10010011111,1110011₂=49F,E6₁₆, т.к.

0100 1001 1111,1110 0110₂

|____|____|____|____|____|

4 9 F , E 6

Аналогично, 10 1110 0001,1010 0110¹²=2Е1,А6¹⁶.

В современных ЭВМ, кроме названных систем счисления, широко применяется двоично-десятичная система, в которой каждая десятичная цифра записывается тетрадой двоичных цифр.

Пример: десятичное число 92 в двоично-десятичной системе представится так: 1001 0010^2-10.

Для того чтобы осуществить обратный переход от двоично-десятичной системы к десятичной необходимо двоично-десятичное число влево и вправо от запятой разбить на четверки (тетрады), а затем каждую тетраду заменить отвечающей ей десятичной цифрой.

Пример: А=0110 1000 1001,01000111^2-10=689,47¹⁰.

Следует иметь в виду, что, хотя в двоично-десятичной системе и используются только нули и единицы, эта запись отличается от записи этого числа в двоичной системе.

Пример: 92¹⁰=1011100².