Алгебра логики

Высказывание – повествовательное предложение, относительно которого определенно и объективно можно сказать истинно оно или ложно (ЛОЖЬ или ИСТИНА, 0 или 1, TRUE или FALSE). Алгебра логики – раздел математики, изучающий процессы умозаключений и законы, которые позволяют из истинности одних высказываний делать заключения об истинности или ложности других высказываний, независимо от их конкретного содержания. Алгебра логики (булева алгебра) была создана в 1854 г. Дж. Булем и в настоящее время находит широкое применение при разработке алгоритмов и для структурно-функционального описания, анализа и синтеза современных электронных схем.

Базовыми операциями алгебры логики служат операции логического умножения – конъюнкции (обозначается точкой или знаком ), логического сложения – дизъюнкции (обозначается знакам + или ), логического отрицания – инверсии (обозначается надчеркиванием или знаком ). При составлении формул применяются скобки, чтобы изменять порядок выполнения операций. Наивысшим приоритетом обладает операция инверсии, затем идет конъюнкция и потом уже дизъюнкция.

Таблицы истинности для указанных операций:

А
0	1
1	0

			А			В		А В
			0			0		0
			0			1		0
			1			0		0
			1			1		1

А	В	А В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Представляют интерес еще две логические операции: эквиваленции (обозначается знаком ) и импликации (обозначается знаком ).

	А			В			А В
	0			0			1
	0			1			0
	1			0			0
	1			1			1

А	В	А В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Приведем основные логические законы (тождественно истинные высказывания), которые позволяют упрощать формулы, заменяя их подформулы эквивалентными выражениями:

1. - закон тождества

2. - закон исключенного третьего

3. - закон противоречия

4. - закон двойного отрицания

5. - закон коммутативности конъюнкции

6. - закон ассоциативности конъюнкции

7. и - законы де Моргана

8. и - законы сокращений

9. и еще с десяток тождественно истинных и тождественно ложных высказываний.

Пример 1. Упростить логическую формулу

Пример 2. Доказать законы де Моргана, построив соответствующие таблицы истинности.

X	Y
0	0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0	1

Таким образом, результат, выражаемый последним столбцом таблицы, свидетельствует, что высказывание является тождественно истинным (выполняется при любых комбинациях значений входящих в него высказываний), т.е. оно действительно является логическим законом. Так же доказывается второй закон де Моргана.