Среднее гармоническое
Наименее из всех средних => по ней считают цены во внешней торговле.
Преобразованное среднее арифметическое.
Среднее Х-1 = Ew \ E (w\x) = E(x*m) \ E ((x*m)\x)
То есть w = x*m
пример
1, 3, 8.
Среднее арифметическое = 4.
Среднее гармоническое = n \ E (1\x) = 2,05
Строительные фирмы |
Удельный расход белил (на единицу продукции) X |
Общий расход (M = xm) |
1 |
4,2 |
85,7 |
2 |
4 |
72,3 |
3 |
3,8 |
60,5 |
Итого |
|
218,5 |
Считаем: 218,5 \ ((85,7\4,2) + (72,3\4) + (60,5\3,8)).
Среднее геометрическое.
Среднее X0 = корень n степени от произведения иксов.
Например,
|
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
|
Производства волокна |
30 |
32 |
33 |
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ (32\30)(33\32)(37\33)=
Среднее квадратическое и кубическое
Среднее Х2 =2√от E (x2 m) \ Em.
Кубическое аналогично, но с кубами.
Характеристики рядов среднего
Активы банков |
Число банков (M) |
Накопительные данные (S) |
8-10 |
9 |
9 |
10—12 |
16 |
25 |
12-14 |
31 |
56 |
14-16 |
12 |
68 |
16-18 |
7 |
75 |
итого |
75 (Em) |
|
Me
= 12,2
8 50% банков до (Q2 = Me) 50% банков после 18
Квантили:
1. квартили. На 4 части
2. квинтили. По 5 (К)
3. секстили. По 6
4. децили. На 10 (D)
5. перцентили (процентили) по 1 проценту (П)
Q 1 = X0 + i * (((Em \ 4) – S q-1) \ mq1) = 11,25
Nq1 = 75+1 (чтобы было четным) \ 4 = 19 => по второй строчке из накопительных данных.
Q3 = X0 + i * ((3(Em \ 4) – S q-1) \ mq1)
Децильный коэффициент диффиренциации: D9 \ D1 = 16 \ 9,778 =
Показатели вариации
Показатели, кот помогают оценить доверие к показателям.
Их 2 вида: абсолютные и относительные, если признак количественный (выражается цифрой). При качественном значении используется альтернативный признак (да или нет).
Признаки:
Количественный признак |
Качественный признак |
||
Абсолютный |
Относительный |
альтернативный |
|
Показатель вариации (R) |
|
Дисперсия σ2 |
|
Среднее линейное отклонение (L) |
|
Сигма σ |
|
Среднее Квадратичное отклонение |
|
|
|
Дисперсия среднего квадратичного в квадрате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = Xmax- Xmin. Почти не применяется, ибо при значительном множестве элементов не показывает ничего. Важно в основном для технических расчетов.
L = (E(X-Xсреднее)*m)\(Em). Все иксы участвуют в расчете.
Xсреднее = E (xm) \ Em
Дисперсия аналогично, Но сумма из числителя в квадрате:
σ2 = (E(X-Xсреднее)2*m)\(Em) = p*q = p*(1-p), Где p = m \ (En), q = 1 – p. Наибольшее значение дисперсии = 0,25.
Но дисперсия безразмерна, а вот корень из нее:
σ = 2√((E(X-Xсреднее)2*m)\(Em)) = 2√( p*q) = 2√( p(1-p))
как это все считается:
X |
m |
|
X-Xсреднее |
(X-Xсреднее)2 |
(X-Xсреднее)2 *m |
|
|
Xсреднее |
|
|
|
Совокупность предприятий разбита на 3 группы: крупные, мелкие и средние. Средняя общая з\п 25 т.р. на мелких – 20 (х1 дисперсия ), на средних (х2) – 18, на крупных = 22 (Х3).
Можно измерить вариацию средних и вариацию дисперсии.
σ2среднее = E(σ2n)\En
подставляем: (6*200 + 12*80 + 18*20) \ 300
другая дисперсия (от средних групповых) = Е (хсреднее – х среднее общее)2*n \ En
сумма этих дисперсий – очень важна. Эта общая дисперсия показывает вариацию в общем. Межгрупповая вариация показывает вариацию только за счет группированного признака, а средняя – за счет всех остальных признаков.
(X) |
1 бригада (м1) |
xm |
2 бр (м2) |
xm |
mцеха |
Xm цеха |
1 бр Х - Хср |
1 бр (X-Xсреднее)2 |
1 бр ((X-Xсреднее)2*m |
2 брХ-Хср |
2бр (X-Xсреднее)2 |
2 бр ((X-Xсреднее)2*m |
|
|
1-3 |
3 |
6 |
2 |
4 |
5 |
10 |
-5 |
25 |
75 |
-4 |
14 |
28 |
|
|
3-5 |
5 |
20 |
7 |
28 |
12 |
48 |
-3 |
9 |
45 |
-2 |
4 |
28 |
|
|
5-7 |
7 |
42 |
10 |
60 |
17 |
102 |
-1 |
1 |
7 |
0 |
0 |
0 |
|
|
7-9 |
12 |
96 |
8 |
64 |
20 |
160 |
1 |
1 |
12 |
2 |
4 |
32 |
|
|
9-11 |
4 |
40 |
5 |
50 |
9 |
90 |
3 |
9 |
36 |
4 |
16 |
80 |
|
|
|
31 (Em) |
204 (Exm) |
32 (Em) |
206 (Exm) |
63(Em) |
410 |
|
|
175 |
|
|
168 |
|
|
1. Сравнить производительность в 1 и 2 бригаде
2. оценить среднюю выработку в целом по цеху (по 2 бригадам)
3. дать количественную оценку средней общей, средней по бригадам
4. проверить правило сложения вариаций.
x среднее = E(x*m)\Em
Для 1 бригады: 7
Для 2 бригады: 6
Для цеха: 6,5
σ2 = (E((X-Xсреднее)2*m))\ Em
Дисперсия 1 бр 5, 64
Дисперсия 2 бр 5, 25
5. децильный показатель по цеху
K = D9 \ D1
D9 = X0 + i * ((9(Em \ 10) – S d9-1) \ md9)
(X) |
mцеха |
Кумулятивные данные |
Xm цеха |
1-3 |
5 |
5 |
10 |
3-5 |
12 |
17 |
48 |
5-7 |
17 |
34 |
102 |
7-9 |
20 |
54 |
160 |
9-11 |
9 |
63 |
90 |
|
63(Em) |
|
410 |
(((Em \ 10) = 6 => вторая строка (17 содержит 6)
D1 = 3+2((6-5)\12) = 3
9(Em \ 10) => четвертая строка
D9 = 3+2((9*6 - 5)\12) = 9