Оценка погрешностей определения коэффициентов корреляции

При малых выборках, когда стандартная ошибка определения коэффициента парной корреляции вычисляется по формуле:

.

Стандартная ошибка определения корреляционного отношения R, вычисляется при по формуле:

, где N – число выборки, K – число факторов.

.

Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока.

.

Если , то выборочная оценка коэффициента корреляции приемлема: 0,96 > 0,27 .

В силу линейности регрессии корреляционное отношение не даёт дополнительной информации.

Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о целесообразности использования уравнения регрессии.

Если и , то производственную функцию можно представить в форме линейной регрессии.

Для более полной оценки погрешности необходима оценка закона распределения коэффициентов корреляции.

При малом объёме выборки и сильной корреляции закон распределения коэффициента корреляции отличается от нормального, в этом случае используется статистика Фишера.

Доверительный интервал для коэффициента r₀ в генеральной совокупности определится соотношением (случай , ):

,

где ;

,

t_p – находится с помощью таблиц значений функции Лапласа по уровню доверительной вероятности;

р – уровень доверительной вероятности.

Для ориентировочной оценки доверительных интервалов для r₀ в случае , для грубых оценок доверительных интервалов можно использовать, соотношение:

.

Если возьмём уровень доверительной вероятности 80% ( ), тогда значение из таблицы функции Лапласа будет равно .

Доверительный интервал для коэффициента корреляции определится соотношением

Оценка значимости представления производственной функции или оценка адекватности выбранной сглаженной зависимости реальной стохастической зависимости результата у^j от фактора ^j.

Степень влияния производственного фактора ^j на результат производства у^j определим на основе дисперсий отклонений сглаженных значений от среднего наблюдаемого и отклонений наблюдаемых величин у^j от сглаженных значений , т.е. от линии регрессии (Д_ост).

Дисперсии вычисляются по формулам:

; .

; .

Помимо указанных дисперсий вводится их сумма:

; .

Для линейной регрессии:

; .

Коэффициент детерминации В характеризует какая доля изменений величины у обусловлена изменением фактора х.

, тогда .

Величина (1-В) – характеризует долю изменений величины у от влияния неучтённых факторов. Коэффициент детерминации В=0,94 показывает, что 90% изменений величины у вызвано изменением производственного фактора х, а (1-В)=1-0,90=0,10, т.е. 10% обусловлены влиянием неучтённых факторов. В случае линейной регрессии ; ; .

- стандартное отклонение у^j от поверхности регрессии.

Выборочная оценка дисперсии отклонения случайной величины у^j от линии регрессии равна

;

;

.

Несмещённая выборочная оценка стандартного отклонения величины у^j от линии регрессии составляет 0,4, т.е. находится в пределах от значений величины , полученных из уравнения регрессии. изменяется (см.таблица 2) от 9,22 до 14,28, что составляет 4,3 и 2,8%:

9,22 – 100 % 14,28 – 100%

0,4 – х 0,4 –х

х=4,3% х=2,8%.

Проблема достаточности данных

При случае малых выборок необходимо обеспечить выполнения условия:

, где L – число параметров; т.е. число выборки должно превышать количество параметров хотя бы на 10.

Для нашей задачи минимально необходимый объём выборки 2+10=12.

Экономические характеристики производственных функций

Дополнительный продукт фактора (предельная производительность) определяется производной:

(при фиксации всех остальных факторов).

Для линейной зависимости у = a₀+a₁x

,

Д_i равен приросту продукции за счёт увеличения i-го фактора на единицу и характеризует тем изменения у в данной точке при изменении фактора х_i .

Дополнительный продукт фактора для линейной регрессии есть const, равная .

Средняя производительность

– средний темп изменения у при увеличении фактора от нуля до заданного значения х_i .

.

при

;

при ;

при

.

Коэффициент эластичности

Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства( у) при изменении фактора (х) на 1%.

При , коэффициент эластичности равен:

, т.е. при изменении фактора на 1% результат изменится на 0,21%.

при х=52

.

Коэффициент эластичности:

;

при х=50 коэффициент эластичности равен

,

т.е. при изменении (х) на 1% величина (у) изменится на 0,76%.