3. Соответствия

Соответствием между множествами и будем называть тройку объектов: , где – область отправления соответствия, – область прибытия соответствия, – график соответствия, т.е. .

Областью определения соответствия будем называть . Областью значений соответствия будем называть .

Соответствие называется всюду определённым, если .

Соответствие называется сюръективным, если

Соответствие будем называть функциональным, или функцией, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами, т.е. пар типа

Соответствие называется инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами, т.е. пар типа

Соответствие называется отображением в , если оно всюду определено и функционально.

Соответствие называется отображением на , если оно всюду определено, функционально и сюръективно.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно функционально и инъективно.

Соответствие называется биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Образом элемента при соответствии называется такой элемент , что , т.е. .

Прообразом элемента при соответствии называется такой элемент , что , т.е. .

Образом множества при соответствии называется множество

.

Прообразом множества при соответствии называется множество

.

Множества называются равномощными (эквивалентными), если между ними можно установить биекцию.

Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка .

Задание 3.1. Дано соответствие .

1. Изобразить соответствие в виде графа.

2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определённость, сюръективность, функциональность, инъективность) обладает .

3. Найти образ множества и прообраз множества при данном соответствии.

4. Построить соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .

5. Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным набору свойств соответствия .

Замечание. Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.

Пример решения заданий 3.1.

Решим задание 3.1 для соответствия ,

если , , , .

Решение.

1. Изобразим соответствие в виде графа (рис. 5).

Рис. 5

2. Выясним, какими из свойств обладает данное соответствие.

а) Соответствие не всюду определено, так как .

б) Соответствие не является сюръективным, так как .

в) Соответствие не является функциональным, так как его график содержит две пары и с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие инъективно, так как его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

3. Найдём образ и прообраз .

, так как и .

, так как и только .

4. Построим соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и данное соответствие.

Пусть , , .

Покажем, что это соответствие (рис. 6) обладает тем же набором свойств, что и данное. а) Построенное соответствие не всюду определено, так как . б) Построенное соответствие не сюръективно, так как . в) Построенное соответствие не функционально, т.к., например, и .

Рис. 6

г) Соответствие инъективно, так как его график не содержит пар с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.

5. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно, изобразим его в виде графа (рис. 7) и аналитически: Покажем, что это соответствие обладает набором свойств, противоположным набору свойств соответствия .

Рис. 7

а) Действительно, это соответствие всюду определено, так как .

б) Соответствие сюръективно, так как .

в) Соответствие функционально, так как в его графике нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие не инъективно, так как его график состоит из двух пар и с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.

Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, оно является отображением на .

Задание 3.2. Для соответствия

1. Определить набор свойств, которыми обладает данное соответствие.

2. Построить соответствие между конечными множествами с набором свойств, противоположным данному, изобразив соответствие аналитически и в виде графа.

Замечание. Отметить случаи отображений и биекций.

Пример решения задания 3.2.

Решим задание 3.2 для соответствия , если , – множество непрерывных на функций, а график задан так: .

Решение.

1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.

а) Каждому натуральному числу поставим в соответствие непрерывную функцию . Тогда, вычисляя определенный интеграл, будем иметь:

.

Следовательно, данное соответствие является всюду определённым.

б) Для некоторых непрерывных функций на определённый интеграл не выражается натуральным числом, например, пусть а и b не являются значениями ; тогда

.

Поэтому данное соответствие не является сюръективным.

в) Покажем, что две различные функции могут иметь на рассматриваемом промежутке одинаковое значение определённого интеграла. Для этого можно рассмотреть функции

и .

Для определенный интеграл не отрезок , как мы уже выяснили, равен . Найдём соответствующий интеграл для :

.

Итак, доказано, что соответствие, описанное в условии задания, не является функциональным.

г) Так как для каждой функции её определённый интеграл на данном промежутке находится однозначно, данное соответствие является инъективным.

2. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было не всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно.

Пусть (рис. 8). Покажем, что построенное соответствие обладает требуемым набором свойств. а) Соответствие не всюду определено, так как элемент , входящий в область определения, не имеет образа при данном соответствии.

Рис. 8

б) Соответствие сюръективно, так как его область прибытия совпадает с областью значений.

в) Соответствие функционально, так как его график не содержит пар с равными первыми и различными вторыми координатами.

г) Соответствие не инъективно, так как в его графике пары и имеют различные первые и одинаковые вторые координаты.

Задание 3.3. Установить биекцию между множествами.

Пример решения задания 3.3.

Установить биекцию между множествами и .

Решение. Будем считать, что , . Пусть , . Очевидно, что , , .

Установим биекцию между множествами и , как тождественное соответствие .

Биекция между множествами и зададим так:

, …,

Таким образом, между и установлена биекция:

Изобразим график этой биекции в декартовой системе координат (рис. 9)

Рис. 9

Задание 3.4. Доказать, что множество:

Пример решения задания 3.4.

Доказать, что множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счётного множества, счётно.

Доказательство. Пусть множество счётно, . Обозначим через множество конечных последовательностей длины , составленных из элементов множества , . Покажем, что для любого натурального множество – счётно.

Пусть

– сумма индексов у равна ,

– сумма индексов у равна ,

– сумма индексов у равна и т.д.

Таким образом, любая конечная последовательность длины , составленная из элементов счётного множества, получит свой номер.

Выпишем элементы множества в виде бесконечной таблицы, где (табл. 3).

Таблица 3

				. . .
				. . .
				. . .
. . .	. . .		. . .	. . .

Будем обходить таблицу по маршруту, помеченному стрелками. По мере движения по этому маршруту будем присваивать номера: , , 4 и т.д.

Имеем, что для любых индексов последовательность получит когда-нибудь единственный номер.

Таким образом, установлена биекция между множеством, составленным из элементов и множеством индексов , т.е. доказана счётность множества всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счётного множества .