2. Графики (Бинарные отношения двух множеств)
Декартовым (прямым) произведением
множеств
называется множество
.
Проекцией вектора
на ось
называется координата (компонента)
.
Проекцией множества
векторов (упорядоченных наборов из
n элементов) на ось
будем называть множество проекций
векторов из
на эту ось и обозначать
.
Графиком
или бинарным отношением
на множествах А и В будем называть
подмножество декартова произведения
этих множеств, т.е.
.
Инверсией графика
будем называть график
.
Композицией графиков
и
называется график (рис. 4)
.
З
адание
2.1.
1. Проверить справедливость равенства
для множеств
,
,
.
2. Выяснить, верно ли равенство для произвольных .
Пример решения задания 2.1.
1. Проверить справедливость равенства
для множеств
,
,
.
2. Выяснить, верно ли равенство
для произвольных
.
Решение.
1. Для нашего случая
.
.
.
.
Итак, мы убедились, что в нашем примере равенство выполнено. Проверим это для общего случая.
2. Пусть
,
,
,
где
списки
элементов.
Тогда
,
где
множество пар элементов, первая компонента
входит в список
,
а вторая – в список
.
,
.
Видим, что множества
и
состоят из пар одинакового вида,
следовательно, равенство
для произвольных
верно.
Задание 2.2. Для данного графика
найти:
,
.
Пример решение задания 2.2.
Для данного графика
найти:
,
.
Решение. По определению инверсии,
,
так как
.
Рассуждая подобным образом, получим:
.
По определению композиции,
,
так как существует 2 такой, что
и
.
Продолжая строить композицию, приходим:
.
Аналогично получаем
Вспоминая определение проекции множества
векторов на ось, получим:
,
аналогично найдём другую проекцию:
и, наконец, можем написать:
Задание 2.3. Для данных графиков
и
решить относительно графика
уравнение
при условии, что
,
.
Для каждого найденного
указать
.
Пример решения задания 2.3.
Для графиков
и
решить относительно графика
уравнение
при условии, что
,
.
Для каждого найденного
указать
.
Решение. Для каждой пары
ищем пару
.
Если такая пара существует, то
может принадлежать графику
.
Запишем множество , составленное из пар вида :
.
Так как
,
то пара
.
Очевидно, что
,
так как иначе в графике
нашлась бы пара, начинающаяся на 4.
Составим
,
добавляя к паре
пары из графика
,
так чтобы выполнилось условие задачи.
Получим:
,
.
Проверкой убеждаемся в том, что
и
являются решениями исходного уравнения.
Согласно определению композиции,
выпишем
и
:
,
.
Ответ: , ;
, .
Задание 2.4. Для графиков
и
из
соотношения
найти график
наименьшей возможной мощности.
Пример решения задания 2.4.
Для графиков
и
из соотношения
найти график
наименьшей возможной мощности.
Решение. Найдём инверсию графика
.
Пусть
график наименьшей мощности, являющийся
решением уравнения
.
Из определения композиции графиков и
минимальности
следует, что
.
Найдём композицию графика
с левой и правой частями равенства
.
Получим:
,
или
,
откуда
.
Из равенства и определение композиции графиков следует, что
.
Значит, верно равенство
.
Итак, график
кроме пар графика
может содержать также пары графика
,
не попавшие в
.
Выпишем все пары, попавшие в график
.
.
Выберем из этого графика пары, образующие .
Для этого изобразим таблицу, в заголовках
столбцов выписав пары графика
,
а в заголовках строк – пары графика
(таблица 2). Для каждой пары
звёздочкой отметим пары из
,
попавшие в композицию
.
Таблица 2
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
* |
|
|
* |
Далее, выберем наименьшее число столбцов
таблицы так, чтобы для любой строки в
выбранном наборе нашёлся столбец,
имеющий символ «*» в данной строке,
причём
не должен иметь пар, не входящих в
.
В нашем примере видно, что такой набор
образуют столбцы, помеченные комбинациями
следовательно,
.
Ответ: .