3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
Полностью известными называются сигналы, у которых известны информационные параметры (то есть параметры, которые модулируются).
Когерентный приём – это приём полностью известных сигналов.
Предположим, что в канале действует
наиболее типичная помеха – гауссовский
аддитивный шум N(t),
который в начале будем считать белым
(широкополосным) со спектральной
плотностью
.
Это значит, что при передаче сигнала
(символа
,
i=0,1, …,m-1)
приходящий сигнал можно описать моделью:
(3.11)
где все
известны. Неизвестны лишь реализация
помехи и индекс i
действительно переданного сигнала,
который и должна определить решающая
схема.
Будем так же считать, что все сигналы являются финитными.
Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального приёмника, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0-Т по критерию максимального правдоподобия.
Алгоритм предусматривает ряд отдельных последовательных действий – «шагов»
1) Примем так называемую нулевую (или шумовую) гипотезу: S(t)=0; Z(t)=N(t)
То есть предположим, что на вход приёмника поступает только шум.
2)
Задача затрудняется тем, что ширина
спектра сигнала бесконечна (поскольку
он финитный), а поэтому пространство
сигналов бесконечное. Для таких сигналов
не существует плотности вероятностей.
Однако существуют n-мерные
плотности вероятностей для любых n
сечений сигнала. Поэтому заменим белый
шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю
спектральную плотность мощности
,
но только в некоторой полосе частот F.
3) Возьмём на тактовом интервале (Т) n
равноотстоящих сечений через
.
Отсчёты
в этих сечениях квазибелого гауссовского
шума независимы.
4) Поэтому n-мерная плотность вероятностей для взятых отсчётов:
(3.12)
где
–
дисперсия (мощность) квазибелого шума.
5) При гипотезе, что передавался символ
,
согласно (3.11)
.
Следовательно, условная n-мерная
плотность вероятности сечений Z(t)
определяется такой же формулой, как и
(3.12), если
заменить разностью
,
представляющей при этой гипотезе шум:
(3.13)
6) Отношение правдоподобия для сигнала
(относительно дополнительной гипотезы),
вычисленное для n сечений:
(3.14)
7) Заменим дисперсию
её выражением
Тогда
(3.15)
8) По правилу максимума правдоподобия
в случае квазибелого шума решающая
схема должна выбирать значение i,
обеспечивающее максимум
.
Вместо максимума
можно отыскивать максимум его логарифма:
(3.16)
9) Второй член в (3.16) можно при сравнении
гипотез не учитывать, он сокращается.
Тогда правило решения о том, что
передавался символ
,
согласно (3.7) можно выразить системой
неравенств:
(3.17)
10) Вернёмся теперь к исходной задаче
для белого шума. Для этого будем расширять
полосу F, тогда число
сечений n стремится к
бесконечности,
–
к нулю. Суммы в (3.17) обратятся в интегралы,
и правило решения определяется так:
(3.18)
Выражение (3.18) определяет те операции (алгоритм работы), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием Z(t).