5.2 Сигналы с угловой модуляцией

Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании передаваемое сообщение изменяет либо частоту , либо начальную фазу ; амплитуда остаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания , называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

Виды угловой модуляции.

Предположим, что полная фаза связана с сигналом зависимостью:

(5.20)

Где – значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k - некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (5.20) называются фазовой модуляцией (ФМ):

(5.21)

Если сигнал S(t)=0, то ФМ – колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значения сигнала S(t) полная фаза растёт во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста во времени.

В моменты времени, когда сигнал S (t)достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называется девиацией фазы . В общем случае, когда сигнал S(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх и девиацию фазы вниз . Мгновенная частота сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:

(5.22)

При частотной модуляции сигнала (414) между величинами S(t) и имеется связь вида:

(5.23)

Поэтому:

(5.24)

Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (5.23) являются девиация частоты вверх и девиация частоты вниз .

Однотональные сигналы с угловой модуляцией.

Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.

В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:

,

где - девиация частоты сигнала.

На основании формулы (5.22) полная фаза такого сигнала

,

где – некоторый постоянный фазовый угол.

Величина

(5.25)

называется индексом однотональной угловой модуляции.

Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы , и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:

(5.26)

Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ , а при ЧМ .

Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.

Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда . Для этого преобразуем формулу (5.26) следующим образом:

(5.27)

Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближёнными равенствами:

На основании этого из равенства (5.27) получаем:

(5.28)

Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах . Индекс m играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.

Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .

Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (5.28) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами , затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.

С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.

Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m.

Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.

Математическая модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:

(5.29)

(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.

Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны ; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям .

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:

Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, если k- чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами . Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.

(5.30)

Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае

(5.31)

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная , то есть в m раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.

Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).

Угловая модуляция при негармоническом модулирующем сигнале.

Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае, когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим, для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами:

(5.32)

Положим, что парциальные индексы модуляции малы настолько, что можно пользоваться приближёнными выражениями для косинуса и синуса: .

Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы:

(5.33)

Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот , присутствуют так называемые комбинационные частоты с четырьмя возможными знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции.

Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции .

Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами и парциальными индексами соответственно, спектральное представление сигнала таково:

(5.34)

Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, называют модуляцией нелинейного типа.