9. Геометрическая оптика.

Рассматриваем линейно поляризованную волну, что дает возможность, как отмечалось ранее, в 3 раза снизить мерность решаемой задачи. Основное влияние сосредотачивается на анализе энергетики волны и направлении ее распространения с сохранением структуры поляризации.

Основа – скалярное волновое уравнение

,

где в качестве функции поля рассматривается комплексная функция поля вида

,

где – вещественная функция пространственных координат амплитуды поля; – вещественная функция пространственных координат, имеющую размерность [м] (ее смысл будет рассмотрен далее).

Несложно подставить функцию Е выбранного вида в волновое уравнение и определить условия, при которых она будет удовлетворять скалярному уравнению. После всех преобразований получится система уравнений

Далее можно осуществить предельный переход к геометрической оптике вида

Последняя система уравнений называется дифференциальными уравнениями геометрической оптики или, согласно Клаузиусу – уравнениями эйконала¹.

Первое уравнение определяет скорость распространения световой волны (волнового фронта) в направлении нормали к нему.

Второе уравнение определяет луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фонтов или семейству поверхностей равных фаз.

Первое уравнение несложно перевести в векторную форму

,

где – единичный вектор нормали к фронту световой волны. Далее после несложных преобразований можно записать

,

где ds – дифференциал дуги при дифференциале радиус-вектора.

Если в последнем соотношении положить n(x,y,z)=const, дифференциальное уравнение разрешается аналитически. Решение можно записать в виде

.

Т.е. в изотропной, однородной среде согласно решению свет распространяется по прямой линии, параллельно вектору и проходя через точку .

Вектор – принято называть лучевым вектором; он имеет длину, равную показателю преломления среды распространения, а направление – ортогональное фронту (волновому фронту) световой волны. Поле лучевого вектора является безвихревым (потенциальным), для которого справедливо соотношение

или .

С использованием теоремы Стокса можно решить задачу о прохождении лучевого вектора через границу раздела сред с разными показателями преломления.

В результате получатся, так называемые, основные формулировки (составные части) закона Снеллиуса:

• падающий лучевой вектор , преломленный лучевой вектор и единичный вектор нормали , направленный из первой среды во вторую, все лежат в одной плоскости;

• касательная составляющая (на поверхность разрыва показателей преломления) лучевого вектора не претерпевает разрыва

;

• справедливо количественное выражение

или ,

где ₁ и ₂ – углы падения и преломления, соответственно.

Принцип Ферма. Современное представление величины эйконала, он же оптический путь l₀

.

Это принцип наикротчайшего оптического пути, т.е. оптическая длина пути l₀ реального луча между любыми двумя точками Р₁ и Р₂ короче оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в регулярной окрестности луча.