4. Материальные уравнения.

Материальные соотношения – соотношения связи – необходимы для описания поведения среды (вещества) по действием падающего электромагнитного поля. Реально эти соотношения крайне сложны, но для тел, находящихся в покое или очень слабого движения друг относительно друга и состоящих из изотропных веществ, т.е. с независящими свойствами от направления, справедливо

, , ,

где  – удельная проводимость среды, – изоляторы или диэлектрики, – проводники,

 – магнитная проницаемость среды, – большинство веществ, особенно газы, – парамагнетики ( ), – диамагнетики ( ), – магнетики, сильные магнетики – ферромагнетики ( ),

 – диэлектрическая постоянная среды.

В случае анизотропной среды, даже в линейном приближении (приближение 1-го порядка), все соотношения существенно усложняются за счет необходимости учета всех проекций векторов при линейной зависимости двух неколлинеарных векторов. В этом случае связь, например, проекций вектора электрического смещения и проекций напряженности электрического поля будет выглядеть следующим образом

, или , или .

Квадратная матрица 33 представляет собой тензор 2-го ранга диэлектрической проницаемости среды. Т.е. для описания свойств анизотропной среды в линейном приближении необходима информация уже о 9 компонентах диэлектрической проницаемости среды.

5. Замечание о дифференциальных операторах векторного и скалярного полей.

Дано: – скалярное поле, – векторное поле.

Градиент – вектор

Дивергенция – скаляр

Ротор (вихрь) – вектор

Важнейшие соотношения:

; ;

; ;

; ; .

6. Волновое уравнение.

Обобщенное волновое уравнение достаточно легко получить из уравнений Максвелла для области поля, где отсутствуют свободные электрические заряды и нет токов, т.е.

и .

При этом среда распространения электромагнитной волны представляется пространственно неоднородной, но стационарной

и .

Делая несложные преобразования несложно получить обобщенное волновое уравнение, например, для электрического компонента электромагнитной волны

.

Если среда распространения однородна, то

и .

Даже если среда распространения имеет незначительные изменения в пространственном распределении, то можно принять

и .

Тогда волновое уравнение существенно упрощается

или .

В случае среды, отличной от вакуума, т.е. когда , волновое уравнение трансформируется

,

где – фазовая скорость распространения волны в среде с показателем преломления n. Следовательно, справедливо известное соотношение Максвелла .

С учетом векторности волнового уравнения предполагается получение решение для каждого компонента электрического вектора в выбранном пространственном базисе. Другими словами четырехмерность самого уравнения и необходимость разрешения системы трех дифференциальных уравнений в частных производных делает решение этой системы крайне затруднительным.

Положение существенно усугубляется малостью характерного пространственного масштаба процесса, определяемого длиной волны излучения. В процессе численного решения системы волновых уравнения шаг пространственной дискретизации для аппроксимации частных производных должен иметь размер порядка .

Пусть  будет иметь порядок 10^-6 м. Характерный размер решаемой задачи (области распространения волны) примем равным 1 м. Тогда число узлов сеточной аппроксимации составит условно 10⁶ по одной координате, т.е. весь объем будет содержать 10¹⁸ узлов (миллиард гигабитов!), что совершенно неподъемно для всех современных компьютеров.

В связи с этим весьма актуальным остается поиск любых обоснованных приемов, направленных на снижение мерности задачи – сокращения числа независимых переменных, сокращение числа уравнений в системе уравнений, радикальном, но обоснованном преобразовании соотношений или поиск удобоваримых аналитических решений.