1. Критерій стійкості Рауса-Гурвіца

Критерій стійкості Рауса-Гурвіца являєьтся алгебраїчним критерієм, який дозволяє судити про стійкість системи по коефіцієнтам її характеристичного рівняння. Необхідною і достатньою умовою стійкості автоматичних систем регулювання є додатність всіх коефіцієнтів характеристичних рівнянь цих систем. Іншими словами АСР стійка, якщо всі визначники Δ1, Δ2, …, Δn, складені з коефіцієнтів рівняння

Додатні при a₀>0. Визначники складаються наступним чином. Для старшого Δn виписуються по діагоналі всі коефіцієнти від а1 до аn у порядку зростання індексів, потім стовбці визначника вниз від головної діагоналі доповнюються коефіцієнтами з послідовно зменшуючимся індексом, вверх з зростаючими індексами. На місці коефіцієнтів, індекси яких більше n і менше 0, ставляться нулі. Менші визначники Δ _n-1…, Δ2, Δ1 отримується шляхом викреслення визначників визначника рядків і стовбців:

a₁ a₃ a₅ … 0

a₀ a₂ a₄ … 0

Δn= 0 a₁ a₃ … 0

. . . … .

. . . … .

0 0 0 … a_n

Умови стійкості для систем:

Першого порядку (n=1): а₀>0, a₁>0;

Другого порядку (n=2): а₀>0, a₁>0, a₂>0;

Третього порядку (n=3): а₀>0, a₁>0, a₂>0, а₂ · a₁> a₃ · a₀

Перевагою критерія стійкості Рауса-Гурвіца являється його простота і невеликий об’єм обчислень при невисокому порядку диф. рівняння системи. Для систем високого порядку n≥4 Використання цього критерію дуже ускладнено у зв’язку з значним об’ємом обчислень. Для аналізу рівнянь третього порядку використовується діаграма Вишнеградського. Характеристичне рівняння третього порядку легко перетворюється в рівняння в формі Вишнеградського.

P³+AP²+BP+1=0

За тим на площині двух параметрів А і В в області стійкості добудовуються різні криві. По критерію Гурвіца, Умова стійкості являються нерівності А>0, B>0 i AB>1. Ці криві на графіку так званою діаграмою Вишнеградського, визначають границі стійкості. Якщо задані коефіцієнти характеристичного рівняння А і В, то по діаграмі Вишнеградського можна встановити, в якій з трьох областей знаходяться корені характеристичного рівняння, і тим самим визначити характер протікання процесу регулювання.

2. Приклади розрахунків сар на стійкість по критерію Рауса – Гурвіца

Приклад 1.

Перевірити по критерію Раусу — Гурвіца стійкість системи автоматичного регулювання, характеристичне рівняння якої має вигляд

0.0003p₄+0.0337p₃+0.43p₂+51.2p+24.8=0

Рішення. Визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння

a₀=0.0003; a₁=0.0337; a₂=0.43; a₃=51.2; a₄=24.8.

Всі коефіцієнти позитивні, Визначимо значення визначника третього порядку;

До кінця підраховувати значення визначника немає сенсу, оскільки вже видно, що він має негативний вираз. Значить, система нестійка.